Tìm các số nguyên tố p.q.r thỏa mãn:
 

$1. p^{q}+q^{p}=r $
$2. p^{3}= p^{2} +q^{2}+r^{2} $
$3. p+q = (p-q)^{3} $
$4. p^{n}+q^{2}=r^{2} $
$5. pq | p^{p}+q^{q}+1 $

Giải thử bài dễ nhất!
Đặt $p-q=t \ge 1 $. Ta có: $p+q=2q+t $. Từ giả thiết suy ra:
$2q+t=t^3 \Leftrightarrow 2q = t^3-t \vdots 6 \Rightarrow q \vdots 3 $.
Do q là số nguyên tố nên q phải là 3, từ đó tính được p = 5.
Vậy $(p,q)=(3,5) $.

Bài 2:
Ta sử dụng tính chất:Nếu $p=4k+3 $ là 1 số nguyên tố thì $a^2 + b^2 $ chia hết cho $p $ khi và chỉ khi $a;b $ lần lượt chia hết cho $p $
Trở lại bài toán:
*Xét $p=4k+1 \Rightarrow q^2 + r^2 $ chia hết cho $4 \Rightarrow q=2;r=2 $
*Xét $p=4k+3 $ từ giả thiết ta có $q^2 + r^2 $ chia hết cho $p \Rightarrow q;r $ lần lượt chia hết cho $p \Rightarrow q=r=p=3 $
Bài 4:
Từ giả thiết ta có $(r-q)(r+q)=p^n \Rightarrow r-q = p^s;r+q =p^t (s+t =n;s<t) \Rightarrow 2r = p^s + p^t =p^s (p^{s-t} +1) $

1/
Dễ thấy $r>3 $. Một trong $2 $ số $p,q $ phải bằng $2 $. GS $p=2 $
$q=3 $ suy ra $r=17 $
$q>3 $ thì:
$2^q+1 $ chia hết cho 3
$q $ có dạng $3k+1, 3k+2 $ nên $q^2-1 $ chia hết cho $3 $
Do đó $r=2^q+q^2 $ chia hết cho $3 $
Vậy chỉ có $(2,3,17);(3,2,17) $ thỏa đề bài

Bài 4:

Bổ đề: Số nguyên tố $p \neq 3 $ bất kì thì $p^{2} $ chia 3 dư 1.

Ta có:
TH1: q, r cùng khác 3. Suy ra $3 | p^{n} \Rightarrow p = 3 \Rightarrow (r + q)(r - q) = 3^{n} $
$\Rightarrow \begin{cases}r + q = 3^{u}\\r - q = 3^{v}\end{cases} (u, v \in \mathbb{N} ; u > v > 0) $
$\Rightarrow 2q = 3^{v}(3^{u - v} - 1) \Rightarrow \begin{cases}u - v = 1\\q=3^{v}\end{cases} $ (mâu thuẫn).

TH2: $r = 3 $. Suy ra $q = 2 \Rightarrow p^{n} = 5 $ (mâu thuẫn).

TH3: $q = 3 $. Suy ra $p^{n} = (r + 3)(r - 3) $
$\Rightarrow \begin{cases}r + 3 = p^{x}\\r - 3 = p^{y}\end{cases} (x, y \in \mathbb{N} ; x > y > 0) $
$\Rightarrow 6 = p^{x}(p^{x - y} - 1) \Rightarrow p^{y} | 6 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow p \in {2 ; 3} $.
Từ đó, ta tính đc nghiệm $(p ; q ; r) $ là $(2 ; 3 ; 5) $.

Mong moị người góp ý!!! :))