[Thắc mắc]Về đồng dư
 

Giả sử x,y,z,n nguyên dương, p nguyên tố.
$x^p \equiv y (mod z), x^n \equiv y (mod z) $
$(p,n)=1 \Rightarrow \exists a,b \in \mathbb{Z}: ap+bn=1 $
Như vậy có thể suy ra rằng $x^1 \equiv x^{ap+bn} \equiv y (mod z) $ được hay ko?

không suy ra được như vậy.chỉ suy ra được:
$x^1 \equiv x^{ap+bn} \equiv {y}^{a+b} (mod z) $

Điều suy luận trên là chưa chắc đúng :(, vì:

• a và b có thể không đồng thời là các số nguyên dương, có thể a+b<0.
• Tính chất: $x \equiv y $ (mod m)$ \Rightarrow x^n \equiv y^n $ (mod m) chỉ đúng với n nguyên dương.

@ Phản ví dụ: với

• x=1, y=4, z=3, n=5, p=2 nguyên tố,
• $x^p=1 \equiv y=4 $ (mod 3),
• $x^n=1 \equiv y=4 $ (mod 3)
• $(p,n)=(2,5)=1; \exists a=-2,b=1:ap+bn=(-2).2+1.5=1 $ ,

nhưng suy ra $x^1=1 \equiv x^{ap+bn}=1 \equiv y^{a+b}=4^{-1}=1/4 $ (mod 3) hay sao? :-h

Nhìn lại giả thiết xem n nguyên dương chửa?
Đằng thức bezout chỉ ra rằng tồn tại x,y sao cho ax-by=1
với x,y nguyên dương
Tốt nhất là TKMATH mang cả bài đó ra đây:-??cho dễ trao đổi!

Bài toán: "Cho số nguyên dương n>1 thỏa mãn $3^n-1 $ chia hết cho n. CMR n là số chẵn"
Bài này thầy giải bằng 2 cách, trong đó có cách liên quan đến định lý Bezout hỏi ở trên.
- Gọi p (khác 3) là ước nguyên tố bé nhất của n
- Gọi d là số nguyên dương bé nhất: $3^d \equiv 1 (mod p) $
- C/m được n=kd hay $n \vdots d $
- Lập luận tương tự thì cũng có: $p-1 \vdots d $
- Mà (p-1,n)=1. Theo định lý Bezout, tồn tại các số nguyên a, b sao cho a(p-1)+bn=1.
Suy ra $3^1 = 3^{a(p-1)+bn} \equiv 1 (mod p) $
Do đó p=2. Nên n chẵn.

Từ chỗ ấp dụng Bezout, mình nghĩ ko sử dụng được.
Cách kia thì đúng. Còn cách này thì thắc mắc. Ko rõ lắm.

Fermat nhỏ đó.
Lúc sang nhìn nhầm thành $3^n+1 $ chia hết cho $n $
:-??

Bạn nói rõ hơn được ko?
n,b cùng lẻ??

Chỗ này suy ra luôn nếu d>1 thì d có 1 ước nguyên tố <p dẫn đến vô lí và do đó d=1 nên p=2

Đây là một cách. Ý mình muốn hỏi làm theo cách Bezout thì có sai chỗ nào ko. Có ai giải thích giùm mình chỗ đó.

Bạn giải thích chỗ này rõ hơn được ko. Lỡ như khi tách ra số mũ âm thì làm thế nào?
Ý mình muốn hỏi làm theo cách Bezout như trên thì có vấn đề gì ko?
Có ai giải thích giùm mình chỗ đó. Tks

Như này nhé:
Có thể giả sử a>0, b<0
$3 \equiv 3^{1-bn}=3^{a(p-1)} \equiv 1 (mod p) $
Nhưng với bài trên chỉ cần nói thế này:
nếu d khác 1 suy ra n có ước nguyên tố nhỏ hơn p suy ra d=1 suy ra $3 \equiv 1 (mod p) $