Một bài toán rời rạc lớp 9
 

Ở miền trong của một hình vuông có cạnh bằng 1 có một tứ giác lồi diện tích lớn hơn 1/2. CMR tồn tại một đoạn thẳng có 2 đầu mút ở trên cạnh tứ giác song song với cạnh hình vuông và có độ dài lớn hơn 1/2

Gọi hình vuông là ABCD. E,F là trung điểm AD, BC. tứ giác lồi là MNPQ
Hai hình chữ nhật ABFE và EFCD có diện tích là 1/2.
Nên tứ giác lồi có diện tích >1/2 nên 4 đỉnh của tứ giác không thể nằm cùng phía đối với EF ( nằm trong một trong hai hình chữ nhật).
Không mất tính tổng quát giả sử M, N khác phía đối với EF khi đó suy ra hoặc M,Q khác phía hoặc P,Q khác phí với EF. ==> giao điểm của các cạnh này vs EF // các cạnh hình vuông==> dpcm