Hỏi về khái niệm "vector"
 

Hãy thử ngẫm mội chút:

Vật lý lớp 8 cho hay, một đại lượng vector là một đại lượng có điểm đặt, phương, chiều và độ lớn. Ví dụ: lực, vận tốc.

Đến toán cao cấp thì, rõ ràng định nghĩa không gian vector nói rằng, một phần tử trong một không gian vector thì sẽ được gọi là một vector. Nghĩa là lúc bấy giờ, ta gọi là một vector nếu nó nằm trong một tập hợp thỏa các phép toán và tiên đề tạo nên không gian vector.

Như vậy hai định nghĩa trên có tương thích nhau không, hay có mâu thuẫn gì không?

Bây giờ, lấy không gian C([a, b]) các hàm liên tục, ta biết đây là một không gian vector (chưa cần phải định chuẩn), thì một hàm f trong đó đủ để gọi là một vector rồi. Thế điểm đặt đâu, phương chiều độ lớn đâu?

Hoặc, lấy một vector vận tốc đặt trên một vật chuyển động nào đó theo đúng nghĩa lớp 8, thế nó phải nằm trong một không gian vector?? Không gian nào??

Phải chăng hai khái niệm vector trên là không liên quan gì đến nhau???? Thuật ngữ vector có nhiều ý nghĩa??

Theo ý hiểu của mình, khái niệm vectơ trong toán cao cấp đã khái quát hóa các đối tượng có chung các đặc trưng thỏa mãn tám tiên đề. Như vậy khái niệm vectơ trong vật lý 8 là một "ngoại diên" của khái niệm "vectơ" (từ ngoại diên này mình dùng theo sách Lý luận dạy học). Như vậy các khái niệm này không hề có mâu thuẫn. Khái niệm vectơ trong vật lý lớp 8 có nhiều đặc điểm hơn vì nó là đối tượng riêng nên sẽ có nhiều chi tiết hơn khái niệm "vectơ" chung.
Về phương và chiều, theo mình hiểu vectơ nào cũng có phương và chiều thể hiện ở phép nhân với vô hướng.
Nếu muốn xét đến độ lớn của vectơ ta có thể xây dựng chuẩn trên KG vectơ đang xét.
Muốn xét điểm đặt ta có thể chuyển KG vectơ đang xét về cấu trúc của KG affine.