Chứng minh giới hạn dãy số
 

Cho dãy số: $u_1 = 1; u_n =\dfrac{u_{n-1} +\frac{k}{u_{n-1}}}{2}$ với $k$ là một hằng số dương cho trước.
Chứng minh dãy này hội tụ về $\sqrt{k}$.

Ta dễ dàng có $u_n>0,\forall n\in\mathbb{N}^*$ và $u_n\ge \sqrt{k},\forall n\in\mathbb{N}^*$. Từ giả thiết suy ra
$$|u_n-\sqrt{k}|=\frac{(u_{n-1}-\sqrt{k})^2}{2u_{n-1}}\le \frac{|u_{n-1}-\sqrt{k}|}{2},\forall n\in\mathbb{N}^*.$$
Từ đây ta có điều phải chứng minh.