Đề luyện VMO 2011: Bài luyện số 2
 

Tôi gửi bài luyện số 2.

Lời giải xin gửi về địa chỉ [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] trước 23h59 phút ngày 10/10/2010.

Cảm ơn bạn Lê Phúc Lữ, thầy Trịnh Thanh Đèo đã đóng góp đề.

Các thầy cô và các bạn SV muốn đóng góp cho chương trình có thể gửi về địa chỉ trên.

Đề số 2 - LaTeXed:

Cẩn gửi cả file tex lên được không em? Anh đang cần gõ vài đề, thấy chú trình bày ổn phết!

Gửi anh file tex. :-)

Chuyên gia đấy Tuấn ơi. Vừa rồi đã nhờ Cẩn làm 2 cuốn kỷ yếu cho trường hè. Bây giờ lại nhờ Cẩn làm chuyên đề Toán học số 9 (của PTNK).

Anh Dũng à, hôm nay em mới nhìn cái đề này. Bài Hình là 1 trường hợp đặc biệt của câu c), bài thi vào trường THPT Chuyên Ngữ Hà Nội năm nay đó anh :D (cái đường tròn đó có thể vị tự thoải mái tâm A, không nhất thiết là đường tròn nội tiếp). (Bài pth thì năm ngoái trường em có thi kiểm tra đội tuyển, mấy đứa học sinh chắc nó đã post rồi :-h).

Thầy giáo ơi.Đã qua 1 tuần rồi.Bao giờ thì có đề thứ 3 a?Em cảm ơn thầy.:))

Sau bài luyện số 1, sang bài luyện số 2 số bạn tham gia đã giảm khá nhiều: chỉ còn 7 bạn tham gia giải. Chắc là các bạn ngại trình bày. Tuy nhiên, cần nói rằng việc học trình bày là rất cần thiết, đặc biệt học cách trình bày sao cho ngắn gọn và chặt chẽ.

Ví dụ trong bài này, các bài 2, 4, 5 đều thuộc dạng khó trình bày (hoặc dài dòng do phải xét trường hợp).

Các bạn sau đây có lời giải tốt nhất: Hồ Phi Nhạn (LPH HCM), Từ Nguyễn Thái Sơn (PTNK). Các bạn Đào Thái Hiệp (PTNK) và Lê Văn Thành (LHP HCM) cũng có lời giải tương đối tốt.

Các bạn tham gia tích cực hơn nhé (đã có bài số 3 --> bài này khá khó nhằn).

Đính kèm là lời giải của bạn HPNhan.

Bạn nào giải giúp mình bài số 2, đề luyện thi số 2 được ko. Mình cảm ơn.

Đặt $g(t):=\dfrac{1+\sqrt{4t-3}}{2} $ với $t \geq 1 $ và đặt $g_{k} (t) = g(g_{k-1}(t)) $ với mọi $k $. Ta có $g^2(t)-g(t)+1=t $. Xét một số thực $t \geq 1 $ nào đó, theo giả thiết ta có $f(t) = f(g(t)) = f(g_{2}(t)) = ... = f(g_{k}(t)) $ với mọi $k $. Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được $1 \leq g_{k+1}(t) \leq g_{k}(t) $ với mọi $k $, dẫn đến tồn tại $\lim_{k \to +\infty} g_{k}(t) $, hơn nữa có tính được giới hạn này bằng $1 $. Do f liên tục nên suy ra $f(t) = f(1) $ với mọi $t \geq 1 $. Với $t<1 $, ta lại xét $h(t) = t^2-t+1 $, và $h_{k}(t) = h_{k-1}(t) $, dễ thấy $\lim_{k \to \infty} h_{k}(t) = 1 $ nếu $t=0 $ và $= +\infty $ với $0 \neq t < 1 $ nên tồn tại $k $ để $h_{k} (t) \geq 1 $. Từ giả thiết ta có $f(t) = f(1) $ với mọi $t < 1 $. Tóm lại $f $ hằng là hàm duy nhất thỏa đề.

Bạn nên nói rõ cách tìm g(t) cho mọi người hiểu chứ viết thế ai mà hiểu nối bạn lấy đây ra g(t).

Thì tìm $g(t) $ sao cho $g^2(t)-g(t)+1=t $ chứ sao

Dưới đây là lời giải cũng chính là cách mình nghĩ ra bài này. Các bạn có thể tham khảo thử! Bài này không có trong sách đâu, chỉ là từa tựa trong sách thôi. :))
Cách của bạn Hiếu cao siêu quá! Đọc kĩ lắm mới hiểu nỗi. Hihi! :)

Thành thật xin lỗi, con gửi cho thầy file không có bài số 2, chắc là do không tập trung ctrong lúc gửi file . Các bạn có thể xem lời giải bài 2 trong file

Ơ, thực ra cách của em và cách của anh Lữ giống nhau đấy chứ ạ, chẳng là em không đổi hàm với cả em viết tắt thôi. Em xin lỗi anh ạ :(
@Thien Tai: Cách mình tìm ra hàm $g $ chính xác như novae đã nói đấy!