Tập hợp các bài toán dùng phép đồng dạng.
 

Phép đồng dạng là một phép biến hình độc đáo và có ứng dụng tuyệt vời trong việc giải toán hình học .
Topic này được lập ra với mục đích như chính tên gọi của nó:" Tập hợp các bài toán dùng phép đồng dạng." nhằm cung cấp cho mọi người một lượng bài tập phong phú ,hữu ích để tự rèn luyện kĩ năng dùng phép đồng dạng.
Với dung lượng khá lớn ,rất mong mọi người cùng đóng góp thêm những bài tập mình biết để làm phong phú ứng dụng của PBH này.:hornytoro:


Chú ý rằng mỗi bài tập đều cần được đánh số thứ tự để tiên việc thảo luận.

Mình sẽ bắt đầu:

Bài 1:Về phía ngoài tam giác ta dựng các tam giác đồng dạng BCM,CAN,ABP tương ứng đỉnh).Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có chung trọng tâm.

Bài 2:Cho tam giác ABC với các đường cao AA',BB',CC'.Chứng mỉnh rằng các đường thẳng Euler của các tam giác AB'C',BC'A' và CA'B' đồng quy.

Bài 3:Cho tam giác ABC có $\hat{BAC}=60^0 $ .Gọi O là một điểm nằm trong tam giác sao cho $\hat{AOB}=\hat{BOC}=\hat{COA} $.Gọi D,E lần lượt là trung điểm của AB,AC.Chứng minh rằng A,D,O,E đồng viên.

Bài 2:Cho tam giác ABC với các đường cao AA',BB',CC'.Chứng mỉnh rằng các đường thẳng Euler của các tam giác AB'C',BC'A' và CA'B' đồng quy

Gọi $O_a,O_b,O_c $ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp AB'C',BC'A',CA'B'
$H_a,H_b,H_c $lần lượt là trực tâm của các tam giác theo thứ tự trên
Xét phép đồng dạng tâm A biến AB'C' thành ABC
S là giao điểm $ O_aH_a , O_bH_b $
Khi đó
$\widehat{AO_aH_a}=\widehat{AOH}, \widehat{BB_bH_b}=\widehat{BOH} $
Xét tứ giác $O_aSO_bH $
$\widehat{O_aSO_B}= 360- \widehat{SO_aH}-\widehat{SO_bH}-\widehat{O_aHO_b} =360- \widehat{AO_aH_a}-\widehat{BO_bH_b}-\widehat{AHB}=360-\widehat{AOH}-\widehat{BOH}-\widehat{AHB}= 360-\widehat{AOB}-\widehat{A'HB'}= 180- \widehat{C} $
Theo tính chát đường trung bình
$\widehat{O_aO_bO_c}=\widehat{C} $
Từ đó suy ra S nằm trên đường tròn ơle của ABC
Tương tự ta sẽ chứng minh được$ O_aH_a,O_bH_b,O_cH_c $ đồng quy ở S

Mọi người vào ủng hộ pic này đi, em thấy hay mà !

Bài 3:

Từ $\widehat{AOB}=\wide{COA}=\frac{2\pi}{3} $ và $\widehat{OBA}=\frac{\pi}{3}-\widehat{OAB}=\widehat{OAC} $, như vậy $\triangle AOB \sim \triangle COA. $
Do đó phép đồng dạng $H_{\left(O,\frac{OC}{OA}\right)}\circ R_{\left(O,\frac{2\pi}{3}\right)}: \triangle AOB \mapsto \triangle COA \Rightarrow D \mapsto E \Rightarrow \widehat{DOE}=\frac{2\pi}{3} $ tức là $A,D,O,E $ đồng viên do $\wide{BAC}=\frac{\pi}{3} $, điều phải chứng minh.

Do các tam giác $BCM,CAN,ABP $ đồng dạng cho nên $\widehat{BCM}=\widehat{CAN}=\widehat{ABP} $ và $\frac{CB}{CM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BA}{BP}=k $.

như vậy sẽ tồn tại một phép đồng dạng
$f:\overrightarrow{CB}\mapsto \overrightarrow{CM},\overrightarrow{AC} \mapsto \overrightarrow{AN},\overrightarrow{BA} \mapsto\overrightarrow{BP} $.
Như vậy :

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+
\overrightarrow{CP}
=\overrightarrow{AC}+f(\overrightarrow{CB})
+\overrightarrow{CB}+f(\overrightarrow{BA})+
\overrightarrow{BA}+f(\overrightarrow{AC}) $

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+

\overrightarrow{CA})+f(\overrightarrow{AB}
+\overrightarrow{BC}+
\overrightarrow{CA})=0 $

Điều này suy ra 2 tam giác $ABC $ và $MNP $ có cùng trọng tâm.

Bài 4: Cho hai đường tròn cắt nhau tại $A $ và $B $ . Tiếp tuyến tại $A $ của hai đường tròn cắt đường tròn còn lại tại $M $ và $N $ khác $A $. Dựng hình bình hành $MANC $.Trên $BN,MC $ lần lượt lấy $P $ và $Q $ sao cho $P $ và $Q $ chia $BN,MC $ cùng một tỷ lệ.Chứng minh rằng $\angle APQ=\angle ANC $

Bài 5: Hai đường tròn cắt nhau tại $A,B $.một đường thẳng qua $A $ cắt hai đường tròn tại $C $ và $D $. $M $ và $N $ lần lượt là điểm giữa của các cung BC và $BD $ khôn chứa $A $. Chứng minh rằng $\angle MKN $ là góc vuông với $K $ là trung điểm của $CD $

Sau đây là một số bài luyện tập :

Bài 6: Trong mặt phẳng, cho 4 điểm A,B,C,D không cùng thuộc 1 đường tròn và không có 3 điểm nào thẳng hàng. CMR góc của 2 đường tròn bất kì trong 4 đường tròn ngoại tiếp 4 tam giác ABC, ABD, ACD, BCD, bằng góc giữa 2 đường tròn còn lại.
Bài 7:Cho điểm A và đường thẳng d không qua A. Trên d lấy 3 điểm phân biệt B, C, D. Gọi O1,O2, O3 lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, ACD, ABD. CMR 4 điểm A, O1, O2, O3 cùng nằm trên 1 đường tròn
Bài 8:Qua điểm P nằm trong đường tròn kẻ tất cả các cặp đoạn thẳng vuông góc với nhau PX và PY (các điểm X và Y cùng nằm trên đường tròn). Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng XY.
=p~=p~=p~

Bài 1 ko dùng vecto được ko vậy, có thể giải theo cách của THCS ko?