Việt Nam TST 2017 - Đề thi và lời giải
 

Ngày mai, 25/3/2017, kỳ thi chọn đội tuyển Việt Nam dự thi IMO 2017 sẽ chính thức diễn ra tại trường THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội.

Kỳ thi lần này có 49 thí sinh tham gia đến từ nhiều đơn vị. Nếu không có gì thay đổi, VN TST năm nay sẽ vẫn diễn ra trong 2 ngày: mỗi ngày thi trong 4 tiếng rưỡi với 3 bài toán thuộc các phân môn: Đại số, Hình học, Số học và Tổ hợp.


Dưới đây là danh sách các bạn tham gia chọn đội tuyển:


Chúc tất cả các bạn thí sinh có một kỳ thi thành công, thể hiện hết khả năng của mình.

P/s: Các bạn có đề thi sớm xin cập nhật vào topic này. Xin cám ơn rất nhiều. :)

Bài 1. Cho $44$ cái lỗ phân biệt trên một cái rãnh là đường thẳng và $2017$ con kiến. Mỗi con kiến sẽ chui lên từ một cái lỗ và bò đến một cái lỗ khác với vận tốc không đổi rồi chui xuống đó. Gọi $T$ là tập các thời điểm mà con kiến chui lên hoặc chui xuống các cái lỗ. Biết rằng vận tốc của các con kiến đôi một khác nhau và $|T| \le 45.$ Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai con kiến nào đó không gặp nhau.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $x_n = C_{2n}^n$.
a) Chứng minh rằng nếu $\dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k$ với $k$ là số nguyên dương nào đó thì $x_n$ là bội của $2017$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $h > 1$ để tồn tại các số nguyên dương $N,T$ sao cho với mọi $n>N$ thì $x_n$ là dãy số tuần hoàn theo modulo $h$ với chu kỳ $T$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ và $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC, CA, AB$
lần lượt tại $D, E, F.$ Gọi $I_b, I_c$ lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc B, C của tam giác $ABC.$ Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm $I_bE, I_cF.$ Giả sử $(PAC)$ cắt $AB$ tại $R$ và $(QAB)$ cắt $AC$ tại $S.$
a) Chứng minh rằng $PR, QS, AI$ đồng quy.
b) DE, DF lần lượt cắt $I_bI_c$ tại $K, J.$ $EJ$ cắt $FK$ tại $M$ và $PE, QF$ cắt $(PAC),(QAB)$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh rằng $BY, CX, AM$ đồng quy.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Điểm $A$ di động trên $(O)$ sao cho $AB > BC$ và $M$ là trung điểm $AC.$ Đường tròn đường kính $BM$ cắt $(O)$ tại $R.$ Giả sử $RM$ cắt $(O)$ tại $Q,$ cắt $BC$ tại $P.$ Đường tròn đường kính $BP$ cắt $AB, BO$ lần lượt tại $K, S.$
a) Chứng minh rằng $SR$ đi qua trung điểm $KP.$
b) Gọi $N$ là trung điểm $BC.$ Trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AN, BM cắt SR tại $E.$ Chứng minh rằng $ME$ đi qua một điểm cố định.

Bài 5. Cho $2017$ số thực dương $a_1,a_1,...,a_{2017}.$ Với mỗi $n>2017,$ ta đặt
\[a_n=\max \{a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}|i_1+i_2+i_3=n, $1 \le i_1 \le i_2 \le i_3 \le n-1 \}. \]

Chứng minh rằng tồn tại $m$ nguyên dương không vượt quá $2017$ và $N >4m$ sao cho $a_na_{n-4m}=a_{n-2m}^2$ với mọi $n>N$.

Bài 6. Với mỗi số nguyên dương $n$, xét $a_1,a_2, \ldots, a_{2n}$ là hoán vị của $2n$ số nguyên dương đầu tiên. Một hoán vị như thế được gọi là đẹp nếu với mọi $1 \le i < j \le 2n$ thì $a_i+a_{n+i}=2n+1$ và $a_i-a_{i+1}$ không đồng dư với $a_j-a_{j+1}$ theo modulo $2n+1$. Quy ước $a_{2n+1}=a_1$.

a) Với $n=6$, hãy chỉ ra một hoán vị đẹp.
b) Chứng minh rằng với mỗi $n$ nguyên dương thì luôn tồn tại một hoán vị đẹp.

Bài 2. Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $x_n = C_{2n}^n$.
a) Chứng minh rằng nếu $\dfrac{2017^k}{2} < n < 2017^k$ với $k$ là số nguyên dương nào đó thì $x_n$ là bội của $2017$.
b) Tìm tất cả số nguyên dương $h > 1$ để tồn tại các số nguyên dương $N,T$ sao cho với mọi $n>N$ thì $x_n$ là dãy số tuần hoàn theo modulo $h$ với chu kỳ $T$.

Bài này cho câu a gợi ý hơi thừa, theo MS học sinh hoàn toàn có thể dễ dàng giải được câu b, không cần câu a.

Ý a thầy Đại làm rồi, sau đây là ý b: Giả sử $h>1$ là số thoả mãn yêu cầu bài toán. Với mỗi $p$ nguyên tố lẻ mà $p\mid h$, ta có dãy số dư $x_n$ theo modulo $p$ cũng tuần hoàn. Sử dụng kết quả câu a) [đúng với mọi số nguyên tố lẻ] thì với $p^k/2<n<p^k$ thì $x_n\equiv 0\pmod p$. Chọn $k$ đủ lớn để $p^k/2>T+1$, ta suy ra tất cả các số dư của $x_n$ cho $p$ đều bằng $0$ với mọi $n\ge n_0$, trong đó $n_0\in\mathbb Z^+$ đủ lớn. Tuy nhiên chọn $t\in\mathbb Z^+$ đủ lớn để $p^t-1>2n_0$ và đặt $n=\frac{p^t-1}2$ ta có ngay $v_p(x_n)=0$, do đó $p\nmid x_n$, vô lý.

Vậy $h$ chỉ có ước nguyên tố là $2$ hay $h=2^k$ với $k$ nguyên dương. Nếu $k>1$ ta chọn $r=k-1$ và xét số $n$ có dạng $n=2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}$ trong đó $a_1>\max\{T,N\}$ trong đó $T,N$ là các hằng số trong giả thiết của $h$. Khi đó $v_2(x_n)=2S_2(n)-S_2(2n)=r$, trong đó $S_2(x)$ là tổng các chữ số trong biểu diễn nhị phân. Thành thử $x_n\equiv 2^{k-1}\pmod h$. Tuy nhiên với mọi $i\in\mathbb Z^+$ mà $i<2^{a_1}$ thì số chữ số $1$ trong biểu diễn nhị phân của $n+i$ tăng thêm ít nhất $1$ đơn vị, do đó mà $x_{n+i}\equiv 0\pmod{h}$. Do $a_1>\max\{T,N\}$ nên $x_n\equiv x_{n+T}\equiv 0\pmod h$, mâu thuẫn.

Vậy $k=1$ do đó $h=2$. Đây là đáp số bài toán, vì dễ thấy rằng $x_n$ là số chẵn với mọi số nguyên dương $n$ như sau: nếu $n=2^{a_1}+\cdots+2^{a_r}$ với $0\leq a_1<\cdots<a_r$ thì $2n=2^{a_1+1}+\cdots+2^{a_r+1}$ nên $v_2(x_n)=2S_n(n)-S_2(2n)=r\ge1$. Do đó $x_n$ chẵn.

Bài 5 là biến thể của bài 6 IMO 2010. Lời giải tương tự.

Ồ bạn tinh thật, thảo nào mới đọc đề cảm giác quen quen như đã từng làm rồi :D

Có thể tham khảo chuyên đề duyên hải năm 2010 tại Hà Nam liên quan đến bài toán trên. Trang 122