Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Các Bài Toán Đã Được Giải (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=107)
-   -   Tìm giá trị nhỏ nhất (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14805)

kuma 26-11-2010 01:16 PM

Tìm giá trị nhỏ nhất
 
:D

Cho $x,y,z $ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x + y + z = 2 $. Tìm min của:

T= $\frac{x^3}{y^2 + z} + \frac{y^3}{z^2 + x} + \frac{z^3}{x^2 + y} $

_minhhoang_ 26-11-2010 05:56 PM

Trích:

Nguyên văn bởi kuma (Post 72174)
:D

Cho $x,y,z $ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x + y + z = 2 $. Tìm min của:

T= $\frac{x^3}{y^2 + z} + \frac{y^3}{z^2 + x} + \frac{z^3}{x^2 + y} $

Theo BDT Cauchy-Schwarz có:
$\frac{{{x^3}}}{{{y^2} + z}} + \frac{{{y^3}}}{{{z^2} + x}} + \frac{{{z^3}}}{{{x^2} + y}} = \sum {\frac{{{x^4}}}{{x{y^2} + xz}} \ge \frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{{x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + xy + yz + zx}}} $
Theo BDT Cauchy-Schwarz, có:
${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{3} = \frac{4}{3} $
$x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} $
$ \le \sqrt {({x^2} + {y^2} + {z^2})({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2})} $
$ \le \sqrt {\frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^3}}}{3}} \le \frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{2} $
$xy + yz + zx \le {x^2} + {y^2} + {z^2} \le \frac{{3{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{4} $
Như vậy $F \ge \frac{1}{{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}} = \frac{4}{5} $, dấu "=" xảy ra khi $a=b=c= \frac{2}{3} $

adaynotfar 06-07-2011 06:30 PM

Đoạn CM $xy^2+yz^2+zx^2\le \frac{2}{3}(x^2+y^2+z^2) $
Có thể phân tích và dùng Côsi để CM
$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\ge 3(xy^2+yz^2+zx^2) $


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:52 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 4.79 k/5.13 k (6.69%)]