Tìm giá trị nhỏ nhất :D Cho $x,y,z $ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $x + y + z = 2 $. Tìm min của: T= $\frac{x^3}{y^2 + z} + \frac{y^3}{z^2 + x} + \frac{z^3}{x^2 + y} $ |
Trích:
$\frac{{{x^3}}}{{{y^2} + z}} + \frac{{{y^3}}}{{{z^2} + x}} + \frac{{{z^3}}}{{{x^2} + y}} = \sum {\frac{{{x^4}}}{{x{y^2} + xz}} \ge \frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{{x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + xy + yz + zx}}} $ Theo BDT Cauchy-Schwarz, có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{(x + y + z)}^2}}}{3} = \frac{4}{3} $ $x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} $ $ \le \sqrt {({x^2} + {y^2} + {z^2})({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2})} $ $ \le \sqrt {\frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^3}}}{3}} \le \frac{{{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{2} $ $xy + yz + zx \le {x^2} + {y^2} + {z^2} \le \frac{{3{{({x^2} + {y^2} + {z^2})}^2}}}{4} $ Như vậy $F \ge \frac{1}{{\frac{3}{4} + \frac{1}{2}}} = \frac{4}{5} $, dấu "=" xảy ra khi $a=b=c= \frac{2}{3} $ |
Đoạn CM $xy^2+yz^2+zx^2\le \frac{2}{3}(x^2+y^2+z^2) $ Có thể phân tích và dùng Côsi để CM $(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\ge 3(xy^2+yz^2+zx^2) $ |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:52 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.