Chứng minh tam giác cân
 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AC. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = 3AB, đường thẳng đi qua D và vuông góc với DC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại điểm E. Chứng minh tam giác BDE cân :-<

Gọi $F $ là trung điểm $BD $.
Tứ giác $ACDE $ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EDF}=\widehat{ECA} $ (1)
$\frac{FD}{AC}=\frac{AB}{AC} $ (2)
$\widehat{BAC}=\widehat{DEC}\Rightarrow \bigtriangleup ABC $ đồng dạng $\bigtriangleup EDC\Rightarrow \frac{ED}{EC}=\frac{AB}{AC} $ (3)
(2),(3) $\Rightarrow \frac{FD}{AC}=\frac{ED}{EC} $ (4)
(1),(4) $\Rightarrow \bigtriangleup CAE $ đồng dạng $\bigtriangleup DFE \Rightarrow BD \perp EF \Rightarrow \bigtriangleup BED $ cân

+) Kẻ $EI \perp AD $ ta có $\angle{EDI}=\angle{DCB} \Longrightarrow $ hai tam giác $IDE $ và $BCD $ đồng dạng $\Longrightarrow \frac{ID}{BC}=\frac{IE}{DB} $ , (1).
+) Ta có $\angle{EAB}=\angle{ACB} \Longrightarrow $ hai tam giác $AIE $ và $CBA $ đồng dạng $\Longrightarrow \frac{AI}{BC}=\frac{IE}{AB} $, mà AD = 3AB $\Longrightarrow \frac{AI}{2BC}=\frac{IE}{BD} $ , (2).
Từ (1), (2) ta có AI = 2ID $\Longrightarrow $ IB = ID $\Longrightarrow $ tam giác EBD cân $\Longrightarrow EB = ED. $