Hàng điểm điều hòa
 

Được anh 2M giao nhiệm vụ khơi dậy hoạt động box hình học sơ cấp. Mình xin lập ra topic này nhằm sưu tập các bài hay về hàng điều hòa. "Hay" là theo nghĩa việc dùng hàng điều hòa để giải bài toán là tối ưu và đẹp nhất. Xin bắt đầu từ một bài toán sau

Bài toán 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AK.$ Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $D.$ Lấy điểm $L$ sao cho $AL\perp BC$ và $IL\perp AD.$ Chứng minh rằng $KL$ chia đôi đoạn thẳng $ID.$

Thầy Buratino gửi kèm ít tài liệu hay ở phần này cho các cháu đọc cùng thì hay :)

Em xin gửi lên tài liệu tỷ số kép do em biên soạn :)

Lời giải bài toán 1.


Bài toán 2. Cho tam giác $ABC.$ Trên đoạn thẳng $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn thẳng $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\frac{PA}{PC}=\frac{QP}{QC}.$ $BQ$ cắt đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $APB$ tại $R$ khác $Q.$ Đường đối trung qua $P$ của tam giác $APR$ cắt $(K)$ tại $L$ khác $P.$ $X$ thuộc $BL$ sao cho $CX\parallel BP.$ Chứng minh rằng $X$ thuộc một đường thẳng cố định khi $P$ di chuyển.

Gợi ý bài toán 2, $X$ nằm trên đường trung bình ứng với $B$ của tam giác $ABC.$ Mời mọi người thảo luận thêm và đề xuất thêm các bài toán hay :)

Bài toán 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. $K$ là hình chiếu của $H$ lên trung tuyến $AM$. $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Lấy $L$ trên $AD$ sao cho $GL\perp GA$. $P$ là hình chiếu của $L$ trên $EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $PLH$ cắt $LG$ tại $Q$ khác $L$. $QH$ cắt $PL$ tại $R$. $J$ thuộc $PK$ sao cho $RJ\parallel EF$. Chứng minh rằng bốn điểm $R,H,J,K$ cùng thuộc một đường tròn.