Đếm số toàn ánh Cho tập $E$ có $n$ phần tử, tập $F$ có $m$ phần tử. Có bao nhiêu ánh xạ toàn ánh từ $E$ vào $F? \,\ (n \ge m)$ |
Trích:
$f:N \to M $ được đếm bằng cách thực hiện hành động H "tạo ra hàm toàn ánh" bao gồm 2 giai đoạn ${H_1} $ và ${H_2} $ như sau: Giai đoạn ${H_1} $: Tạo ra một phân hoạch $\mathop N\limits^{\_\_} $ của $N $ gồm $m $ khối. Áp dụng định nghĩa của số Stirling loại hai, ta có $S(n,m) $ cách thực hiện giai đoạn ${H_1} $ Giai đoạn ${H_2} $: Tạo ra một hàm song ánh $\mathop f\limits^{\_\_} :\mathop N\limits^{\_\_} \to M $. Áp dụng công thức đếm tất cả các hàm đơn ánh từ tập N vào tập M, ta có $m! $ cách thực hiện giai đoạn ${H_2} $ @ Theo quy tắc nhân, ta có: Số các hàm toàn ánh $\mathop f\limits^{\_\_} :\mathop N\limits^{\_\_} \to M $ với $\left| N \right| = n,\left| M \right| = m $ là: $m!S(n,m) $ |
Bài này dùng nguyên lý bù trừ. Ta sẽ đếm số ánh xạ không toàn ánh. Gọi $A_i $ là tập các ánh xạ mà trong tập ảnh không chứa phần tử thứ i của tập F. Như vậy thì tập các ánh xạ không toàn ánh là hợp của các $A_i $. Dùng nguyên lý bù trừ để đếm số phần tử. P/S: nếu bạn học ở DHSPHN thì tham khảo sách Đại số sơ cấp của các thầy Dương Quốc Việt và Đàm Văn Nhỉ sẽ có phần này. |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:32 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.