Bài toán về điểm bất động
 

Cho $f\colon [a,b] \to [a,b] $ là hàm liên tục. Chứng minh $f $ có điểm bất động, điểm bất động đó có phải là duy nhất?

Xét hàm $g(x)=f(x)-x $. Suy ra hàm $g $ cũng liên tục.
Ta có $g(b)=f(b)-b \le 0 $, và $g(a)=f(a)-a \ge 0 $, suy ra tồn tại $x_0 \in [a,b] $ sao cho $g(x_0)=0 $. Ta có điều phải chứng minh.

Điểm bất động có thể không là duy nhất, ví dụ là hàm $f(x)=x $

Bài toán tương tự mọi người tham khảo:
Nguyên lý brao: f : có đạo hàm trong [a,b] ; $G_f $ con [a,b]
$|f'(x)| \le k <1 $ với mọi x thuộc (a,b).
f(x) có điểm bất động duy nhất trong (a,b).