Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Các Bài Toán Đã Được Giải (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=109)
-   -   Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (của hình tròn) (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=14655)

inuyashahot 20-11-2010 11:10 AM

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng (của hình tròn)
 
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ 2 tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi C là điểm thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến tại C của (O) (không song song với AB) lần lượt cắt MA, MB tại D và E. Vẽ đường tròn (I) nội tiếp tam giác MDE với N là tiếp điểm của (I) với DE. NI cắt (I) tại K. CM: M, K, C thẳng hàng
Mình mới học xong HK1 lớp 9 nên các bạn nên dùng những kiến thức mà mình đã biết nhé. Cám ơn các bạn đã giúp mình.

avip 20-11-2010 07:51 PM

Em xin giải vắn tắt như sau:

Đặt $L = NI \cap MC $. Ta cần cm: $K \equiv L \Leftrightarrow IL = R_{(I)} $ (1).
Áp dụng định lí Thàles ta có: $\frac{R_{(I)}}{R_{(O)}} = \frac{MI}{MO} = \frac{IL}{OC} $ (do $NL \parallel OC $) (2)
Vậy ta suy ra đpcm.

Mong mọi người góp ý :))

inuyashahot 20-11-2010 08:36 PM

Ủa. CM đảo lại nhưng chưa biết IL= R(I) mà ?

avip 20-11-2010 08:42 PM

Từ (2) suy ra $IL = R_{(I)} $ đó anh.

inuyashahot 20-11-2010 08:47 PM

Ủa? Áp dụng định lí Thàles cho tam giác MCO, IL // OC thì ta mới có: $\frac{MI}{MO} = \frac{IL}{OC} $ thôi mà. Lúc này mình chưa chứng minh được $IL=R(I) $ mà anh?

novae 20-11-2010 09:48 PM

Cách 1:
Gọi $T $ là trung điểm $DE $, $J $ là giao điểm của $IT $ với đường cao kẻ từ $A $ của tam giác $ADE $, ta có $AJ=r $

Từ đó suy ra $MKIJ $ là hình bình hành $\Rightarrow MK \parallel IT \; (1) $
Lại có $KC \parallel IT \; (2) $ (vì $IT $ là đường trung bình trong tam giác $NKC $)
Từ $(1) $ và $(2) $, ta suy ra $M,K,C $ thẳng hàng

Cách 2:
Gọi $d $ là tiếp tuyến của $(I) $ tại $K $, dễ thấy $d \parallel DE $
Xét phép vị tự $Z $ tâm $M $ biến $(I) \to (O) $
Khi đó $ Z : d \to DE \Rightarrow Z: K \to C $, suy ra $M,K,C $ thẳng hàng

avip 20-11-2010 09:59 PM

Trích:

Nguyên văn bởi inuyashahot (Post 71492)
Ủa? Áp dụng định lí Thàles cho tam giác MCO, IL // OC thì ta mới có: $\frac{MI}{MO} = \frac{IL}{OC} $ thôi mà. Lúc này mình chưa chứng minh được $IL=R(I) $ mà anh?

Do $\frac{R_{(I)}}{R_{(O)}} = \frac{MI}{MO} $ (áp dụng định lí Thàles cho tam giác MAO) nên $\frac{R_{(I)}}{R_{(O)}} = \frac{IL}{OC} \Rightarrow IL = R_{(I)} $.

inuyashahot 20-11-2010 10:02 PM

Cho em hỏi điểm T là điểm gì ạ? Với lại cách của anh avip đúng không?

$T $ là trung điểm $DE $ :D
------------------------------
Cách của anh avip rất hay (anh phải kẻ điểm IG // AO chứ (G thuộc AM) ) em mới hiểu. Cũng cảm ơn anh novae rất nhiều.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:33 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 8.31 k/8.89 k (6.54%)]