Bài toán về hyperbol
 

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hyperbol (H) có phương trình $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1 $.
Gọi $A_1, A_2 $ là các đỉnh của $(H) $ và $B_1, B_2 $ là các giao điểm của hình chữ nhật cơ sở của $(H) $ với trục ảo của nó. Trên $(H) $, lấy một điểm M tùy ý; gọi P và Q tương ứng là hình chiếu của M trên các trục Ox và Oy.
Chứng minh rằng:
$MP^2(MQ^2-2a^2)=\overline{PA_1} \cdot \overline{PA_2} \cdot \overline{QB_1} \cdot \overline{QB_2} $

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]
Giả sử $M(u;v);M\in (H) \Rightarrow \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1 $
Ta có $P(u;0),Q(0;v),A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(b;0),B_2(-b;0) $
$\Rightarrow \overline{PA_1}=-a-u;\overline{PA_2}=a-u; \overline{QB_1}=b-v;\overline{QB_2}=-b-v $
Do đó
$MP^2(MQ^2-2a^2)=\overline{PA_1} \cdot \overline{PA_2} \cdot \overline{QB_1} \cdot \overline{QB_2} $
$\Leftrightarrow v^2(u^2-2a^2)=(a^2-u^2)(b^2-v^2) $
$\Leftrightarrow b^2u^2-a^2v^2=a^2b^2 $
$\Leftrightarrow \frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1 $ (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm

NOVAE làm hình rất nhanh. Mình muốn hỏi là bạn vẽ hình bằng phần mềm nào vậy?

Mình dùng GeoGebra: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Câu này mình lấy trong một đề thi xuất hiện trên diendantoanhoc từ lâu, nghe nói là đề dự bị VMO 2008, nhưng bài này đúng là dễ hơn nhiều bài trong SBT Toán lớp 10 nữa, chỉ cần thay công thức vào là tính được, các độ dài đều xét trên Ox, Oy.

À, về phần mềm vẽ hình thì đúng là Geogebra vẽ hình chính xác thật (do dựa trên quan hệ đại số dựa các điểm), nhưng ngoài ra, Sketchpad cũng là một phần mềm quen thuộc và được dùng nhiều trong trường học (đặc biệt, sketchpad có thể copy trực tiếp và paste sang Word).

Về kinh nghiệm dùng các phần mềm này, các bạn có thể xem thêm tại link bên dưới!

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]