Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Đại Số/Algebra (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=12)
-   -   Bài toán về ma trận (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=18253)

123456 02-04-2011 02:45 AM
Bài toán về ma trận
 
Cho $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp n, xét ma trận mũ $e^{tA} $ được định nghĩa bới
$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^nA^n}{n!} $
($e^{tA} $ là nghiệm của phương trình vi phân $f'(t)=Af(t); f(0)=I $ với f là hàm nhận giá trị ma trận). Giả sử $e^{tA}=(a_{t,ij}) $, chứng minh rằng:
$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $i,j $ và mọi $t\geq 0 $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $

pgviethung 11-04-2011 04:01 PM
Bài này mình thấy không đúng lắm:
+ Xét A là ma trận một phần tử x bất kì thì exp(tx) luôn lớn hơn 0 với mọi t.
+ Mở rộng hơn: xét A là ma trận đường chéo thì exp(tA) cũng là ma trận đường chéo với các phần tử (exp(t$a_{ii} $)), tức là các phần tử của exp(tA) luôn không âm.

99 11-04-2011 04:50 PM
Cả hai nhận xét trên của anh đều không mâu thuẫn với kết luận của bài toán của anh 123456 :))

pgviethung 11-04-2011 05:01 PM
Ý của mình là có những ma trận có các phần tử âm mà vẫn thỏa mãn, tức là ta không có sự tương đương

99 11-04-2011 05:04 PM
Anh đọc kỹ lại cái kết luận xem :
Trích:
Nguyên văn bởi 123456 (Post 88673)
... khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $
Ở đây chỉ nói các phần tử "không chéo" :D

123456 11-04-2011 06:19 PM
Trích:
Nguyên văn bởi 123456 (Post 88673)
$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $t,i,j $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $
Giả thiết với mọi t được thay bới với mọi $t\geq 0 $. Xin lỗi vì không edit bài được.

pgviethung 11-04-2011 06:58 PM
OK, sorry, mình đọc đề không kỹ:)

123456 13-04-2011 03:03 PM
Trích:
Nguyên văn bởi 123456 (Post 88673)
Cho $A=(a_{ij}) $ là ma trận cấp n, xét ma trận mũ $e^{tA} $ được định nghĩa bới
$e^{tA}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^nA^n}{n!} $
($e^{tA} $ là nghiệm của phương trình vi phân $f'(t)=Af(t); f(0)=I $ với f là hàm nhận giá trị ma trận). Giả sử $e^{tA}=(a_{t,ij}) $, chứng minh rằng:
$a_{t,ij}\geq 0 $ với mọi $i,j $ và mọi $t\geq 0 $ khi và chỉ khi $a_{ij}\geq 0 $ với mọi $i\not=j $

newbie 21-04-2011 09:49 PM
Anh giải hay thật , em có nghĩ đến ma trận liên thông nhưng lại không bik kiếm ma trận nào cả @@


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:44 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 9.01 k/9.77 k (7.76%)]