Nhóm
 

Em chưa làm được bài này, mong mọi người giúp em với ạ. Cho (G,.) là 1 nhóm hữu hạnh. Giả sử A,B là hai tập con của G sao cho lAl+lBl >lGl. Chứng minh rằng: G=AB={ab l a €A, b€B} kí hiệu € là thuộc.

Lấy $g\in G$ bất kỳ, ta cần chứng tỏ tồn tại $a\in A$ và $b\in B$ sao cho $a^{-1}g=b$.

Xét tập $A'=\left\{a^{-1}g:\;a\in A\right\}$. Với $a_1,\,a_2\in A$ và $a_1\ne a_2$ thì rõ ràng theo luật giản ước có $a_1^{-1}g\ne a_2^{-1}g$ vì thế $\left| A'\right|=|A|$, đồng thời\[\left| G \right| \ge \left| {A' \cup B} \right| = \left| {A'} \right| + \left| B \right| - \left| {A' \cap B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A' \cap B} \right| > \left| G \right| - \left| {A' \cap B} \right|.\]Vậy, $A' \cap B\ne\emptyset$ cho nên tồn tại $a\in A$ và $b\in B$ sao cho $a^{-1}g=b$.