Diễn Đàn MathScope - Đề thi và lời giải đề IMO 2010

Mình xin gửi các bạn đề thi và lời giải đề IMO 2010 (tất nhiên là bằng Tiếng Việt rồi).

Toàn bộ 6 lời giải đều được lấy trên mathlinks.ro, cái này chỉ là mình dịch ra và thêm một chút cho rõ ràng thôi.

* Các câu hình số 2 và 4 không khó lắm, có thể giải trực tiếp mà không cần kẻ đường phụ hay sử dụng thêm các bổ đề, định lí nào.
* Câu 1 là một PT hàm phần nguyên hơi lạ nhưng không khó, chỉ cần cho x = 0 hoặc y = 0 là đã gần đi đến kết quả rồi. Tuy vậy, nếu đi theo con đường y = 0 thì rất dễ bị nhầm ở đoạn:
từ0 [$\[f(y)]=0 \Rightarrow f(y)=0 $.
* Câu 3: có lẽ là chỉ có cách lập luận theo con đường ước nguyên tố để từ đó suy ra: nếu $p|g(n)-g(m) $ thì $p|(n-m) $. Nếu lựa chọn không đúng cách này và giải theo hướng khác thì khó mà đi đến kết quả được.
* Câu 6: bài này giả thiết rất mơ hồ, rất khó hình dung ra dãy số $a_n $ của đề bài. Ý tưởng chủ yếu là xét số max$\frac{a_n}{n} $ và chỉ ra một số l thỏa mãn; thế nhưng nếu cứ lập luận theo giá trị này thì dễ bị ngộ nhận là $\frac{a_n}{n} $ là một số nguyên dương. Bài này phải nêu ra một số nhận xét thích hợp để bổ sung cho lập luận trên. Tuy vậy, mình nghĩ dãy số đã cho sẽ có nhiều cách đánh giá hay hơn và hiệu quả hơn.
*Câu 5: theo thống kê trên mathlinks thì hình như số người giải được bài này còn ít hơn cả câu 6. Câu tổ hợp này nằm ở dạng phải xây dựng một phương pháp để đạt được một cấu hình cần nêu muốn giải được phải đưa ra những nhận xét thích hợp, hai nhận xét cơ bản là:
- Nếu từ [0,0,0,X,0,0] thì có thể đạt được [0,0,0,N,0,0] với X>N.
- Nếu từ [0,0,0,N/4,0,0] có thể đạt được bộ [0,0,0,0,0,N].
Ngoài ra còn một số nhận xét và việc chọn các bước biến đổi phù hợp và như thế thì lời giải và thời gian cần để giải phải rất dài.

Lời giải này mình trình bày trong thời gian hơi ngắn nên có thể sửa chưa hết lỗi. Mình gửi trên đây chỉ mong cung cấp được cho các bạn một tài liệu nhỏ để tham khảo thôi! :d