|
cos A : số đại số hay siêu việt? $\cos \frac{\pi }{180} $ có thể tính toán từ các số nguyên qua một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, căn thức không? Nếu có hãy chỉ ra biểu thức ấy. Nếu không thì nó vẫn là số đại số hay là số siêu việt? Nếu nó vẫn là số đại số thì là số đại số bậc bao nhiêu và có phải là số đại số nguyên hay không? |
Cos(pi/n) là nghiệm của phương trình $T_n(x) = 0 $, trong đó $T_n(x) $ là đa thức Chebysev bậc n do đó cos(pi/n) là số đại số. Tuy nhiên chỉ với n = 2, 3, 5, 17 và nói chung là n là số nguyên tố Fermat thì cos(pi/n) mới biểu diễn được dưới dạng căn thức. |
Nhưng mà $\cos \frac{\pi}{2^k} $ cũng biểu diễn được dưới dạng căn thức mà thầy Em nhớ không nhầm thì $\cos \frac{\pi}{n} $ biểu diễn được dưới dạng căn thức tương đương với việc dựng được đa giác đều $n $ cạnh bằng compa và thước thẳng, và khi đó thì $n $ có dạng $2^m.p_1.p_2\ldots p_r $, trong đó $p_i $ là các số nguyên tố Fermat Mong thầy chỉ giáo thêm :) |
Đúng là tôi có nhầm lẫn. Xem chi tiết ở đây: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] |
$x_{n}=\cos \frac{\pi }{2n} $ mới là nghiệm của phương trình $T_{n}(x)=0 $ Có thể thấy với $n\neq 1 $ thì $x_{n} $ không phải là số đại số nguyên (là nghiệm của đa thức nguyên mà hệ số bậc cao nhất là 1). Vấn đề là $x_{n} $ chưa chắc là số đại số bậc $n $ (là nghiệm của đa thức nguyên bậc $n $ và không là nghiệm đa thức nguyên nào khác bậc thấp hơn $n $). VD: $x_{1} $ là số đại số bậc 1 nhưng $x_{3} $ lại là số đại số bậc 2 Xác định bậc của số đại số $x_{n} $ thì mình cũng chưa biết =p~ |
Xem trong link sau: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] có công thức tổng quát cho bậc đại số của $\cos\frac{\pi}{n} $ Trong đó cũng khẳng định rằng, với $r $ là số hữu tỉ thì các hàm lượng giác của $r\pi $ là số đại số. |
| Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:32 PM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.