[IMO 2012] Bài 4 - Phương trình hàm trên tập số nguyên
 

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho với mọi $a+b+c=0$ thì
$$ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a). $$

Biến đổi biểu thức thành:
$(f(a) - f(b))^2 = f(c) (2f(a) + 2f(b) - f(c))$

Ta cho các giá trị của $a,b,c$ và nhận được $f$ như sau:
(i) $a = b = c = 0 \Rightarrow f(0) = 0$

(ii) $b = -a, c = 0 \Rightarrow f(-a) = f(a)$

(iii) $a = b = 1, c = -2 \Rightarrow f(2) = 0$ Hoặc $f(2) = 4f(1)$

1. Nếu: $f(2) = 0$
Ta dùng quy nạp để chứng minh: $\Rightarrow f(2n) = 0$

Thật vậy, nếu $f(2k) = 0$ ,
ta cho $a = 2, b = 2k, c = -2k-2 \Rightarrow f(2k+2) = 0$

Vậy: $\Rightarrow f(2n) = 0$ với mọi $n \in N$

Cho $a=2k+1,b=-(2k+3),c=2$ cùng với chú ý (ii) ta có:
$\Rightarrow$ với mọi cặp số lẻ $a, b$, $f(a) = f(b)$

Vây ở trường hợp này $f(x) = c$ với $x$ lẻ, $f(x) = 0$ với $x$ chẵn.

2. Nếu $f(2) = 4f(1)$
Vẫn dùng quy nạp:
Nếu $f(i) = i^2 f(1)$ với mọi $i \leq k$ thì cho $a = 1, b = k, c = -k-1 \Rightarrow f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ hoặc $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$

(*) Nếu $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ thì cho $a=k+1, b=-k+1, c = -2 \Rightarrow f(1) = 0
\Rightarrow f(x) = 0$

(*) Nếu $f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ thì $f(x) = x^2 f(1)$ với mọi $x$

Mình thử bài này tí:

Đầu tiên, cho $a=b=c=0 $, ta có $3f^2(0)=6f^2(0) $ và do $f(0) \in \mathbb{Z} $ nên $f(0) = 0 $.

Cho $c=0 $ thì $f^2(a)+f^2(b) = 2f(a)f(b) $ suy ra $f(a)=f(b) $ hay $f(n)=f(-n) $ với mọi số nguyên n.

Cho $a=b=n, c = -2n, n \in \mathbb{Z}^+ $ thì
$2f^2(n)+f^2(2n) = 4f(n)f(2n)+2f^2(n) $ hay
$f^2(2n) = 4f(n)f(2n) \Leftrightarrow f(2n)(f(2n)-4f(n))=0 $ với mọi số nguyên dương n.

Ta xét 2 trường hợp:
- Nếu $f(2n) = 0 $ với mọi $n \ge 0 $ thì ta xét
$a=1, b=2n-1, c= -2n $, ta có:
$f^2(1)+f^2(2n-1)= 2f(1)f(2n-1) $, suy ra $f(1)=f(2n-1) $ với mọi $n $.
Đặt $f(1)=m $, ta được một hàm số thỏa mãn đề bài là:
$f(n)=m $ với $n $ lẻ và $f(n)=0 $ nếu $n $ chẵn.

- Nếu tồn tại $n_0 $ sao cho $f(2n_0) \neq 0 $ thì $n_0>0 $ và $f(2n_0)=4f(n_0) $.

Chọn $a=n_0, b=2n_0,c=-3n_0 $ thì
$f^2(n_0)+f^2(2n_0)+f^2(3n_0)=2f(n_0)f(2n_0)+2f(2n_ 0)f(3n_0)+2f(3n_0)f(n_0) $ hay
$9f^2(n_0)+f^2(3n_0) =10f(n_0)f(3n_0) $. Suy ra
$f(3n_0)=f(n_0) $ hoặc $f(3n_0)=9f(n_0) $.

Đến đây mình đang nghĩ tiếp, dự đoán là cần chứng minh không xảy ra $f(3n_0)=f(n_0) $ và với $f(3n_0)=9f(n_0) $ thì có thể hàm số là $f(n)=kn^2 $ với k là hằng số nguyên.

[Edit] Xét theo kiểu bạn Harry Potter ở trên để ra được $f(2)=4f(1) $ thì khỏe rồi, do không nghĩ đến chuyện quy nạp nên mình cứ xét tổng quát. Tuy nhiên, bài này mình nghĩ là thực sự không mới cho một kì thi như IMO. :(

Đoạn này
chỉ suy ra $ (k-1)^2 f(1)=f(1) $ do đó suy ra $f(1)=0 $ nếu $k\geq 3 $
Với $k=2 $ thì có 2 trường hợp:
1. $f(3)=f(1) $ suy ra $f(4)=4f(1) $ hoặc $f(4)=0 $
$(a) $nếu $f(4)=4f(1) $ suy ra $f(2)=f(4)=0 $ (vô lí).
$(b) $nếu $f(4)=0 $ thì suy ra $f(n+4)=f(n) $ với mọi $n $ từ đó suy ra hàm.
2.$f(3)=9f(1) $cm quy nạp được $f(n)=n^2f(1) $

Em làm rất vất vả, nhưng có lẽ là đúng.

Trong đẳng thức cho $a=b=c=0 $ suy ra $f(0)=0 $.
Cho $c=0, b=-a $ suy ra $(f(a)-f(-a))^2=0 $, suy ra f chẵn.
Ta viết lại giả thiết: mọi $b,c $ nguyên thì $f^2(b+c)+f^2(b)+f^2(c)=2f(b)f(c) + 2[f(b)+f(c)]f(b+c) (1) $
+,Nếu $f(1)=0 $, cho$ b=c=1 $ có $f(2)=0 $, dễ thấy nếu $f(b)=f(c)=0 $ thì $f(b+c)=0 $, từ đây suy ra $f(n)=0 $ mọi n tự nhiên, suy ra f là hằng 0.
+,Nếu $f(1) $ khác $0 $. Cho $b=c=1 $ có $f(2)=4f(1) $ hoặc $f(2)=0 $.
Xét $f(2)=0 $ thì cho $c=2 $ trong $(2) $ được f tuần hoàn chu kì 2, dễ suy ra $f(x)=a $ với mọi $x $ lẻ, $f(x)=0 $ mọi x chẵn.
Nếu f(2) khác 0, ta lại xét tiếp 2 trường hợp:
+, f(4)=0 thì f tuần hoàn chu kì 4.
Thay b=1,c=3 được f(1)=f(3)
Vậy ta có hàm f(x)=a với x lẻ, $f(x)=4a $ với x chia 4 dư 2 và $f(x)= 0 $ với x chia hết cho 4.
+, $f(4) $ khác $0 $ thì $f(4)=4f(2) $
Cho b=1,c=2 suy ra hoặc $f(3)=9f(1) $ hoặc $f(3)=f(1) $.
Ta sẽ loại $f(3)=f(1) $. Thật vậy, khi đó cho $b=3,c=1 $ có $f(4)=4f(1)=f(2) $, điều này vô lí.
Vậy $f(3) $ khác $f(1) $. Đến đây mới có thể dùng quy nạp như Harryporter và suy ra $f(k)=k^2f(1) $