Thắc mắc về hình học vi phân cổ điển
 

Bác nào học môn này rồi có thể giải thích cho em vài câu hỏi không ạ ?
Hiện tại em đang học HHVP cổ điển theo giáo trình của thầy Quỳnh. Có một số khái niệm mà em vẫn chưa hiểu ý nghĩa của nó ra sao.

1. Ý nghĩa hình học của độ cong Gauss?
2.Ý nghĩa hình học của độ cong trung bình ?

Tạm thời là 2 câu hỏi đã :) , lúc nào em có thắc mắc, em lại hỏi tiếp :D

Anh chưa đọc cuốn ấy nên không rõ độ cong Gauss lắm nhưng nếu độ cong định nghĩ thế này thì sẽ có ý nghĩ hh thú vị

Ta xét cung tham số f lớp $C^2 $ và tham số hóa đơn vị là s thì bán kính cong tại điểm M(t) là $R=\frac{ds}{d \phi} $ trong đó $\phi=(Ox,\vec{u}) mod \pi $ với $\vec{u}=\frac{dM(t)}{ds} $
Khi đó độ cong (không rõ gọi là độ cong gì) $\theta=\frac{1}{R} $

Ý nghĩ hh
Đ/n:Tâm cong tại M(t) là điểm O sao cho $\vec{MO}=R\vec{N} $ trong đó $\vec{N} $ nhận được khi quay $\vec{T} $ 90 độ hướng dương! Thực chất nó là các thành phần trông công thức Frenet!
Khi đó đường tròn tâm O bán kính R sẽ tiếp xúc với đường cong tại chính M(t) gọi là đường tròn chính khúc tại M(t).

Ta tưởng tượng độ cong như đại lượng "đo sự uốn cong" thông qua đường tròn!

Anh học qua rồi nên chỉ nhớ không chính xác, sai chú thông cảm nhé, mà 99 à độ này ít gặp chú online nhỉ :)!

Có nhiều loại độ cong mà anh. Độ cong trong công thức Frenet thì trong sách thầy Quỳnh cũng có giải thích ý nghĩa hình học roài :hornytoro:

Anh biết ánh xạ Weingarten (hay còn gọi là toán tử dạng/shape operator) chứ ? Độ cong Gauss là định thức của ánh xạ đó (nó là ánh xạ tuyến tính)

Có câu hỏi này khó hơn. Bác nào giải thích được cho em thì em cám ơn rất rất nhiều :)

3. Ý nghĩa hình học của curvature tensor ?

Cái này đúng là khó rồi, phải để anh tra lại sách xem sao, nhưng anh nhớ mang máng khi chú nói đến định thức của ánh xạ Weingarten có lẽ khi anh học họ gọi là dạng có bản thứ 2 thì phải ?

Hì hì :D . Anh nhớ nhầm rồi :D . Từ ánh xạ Weingarten thì định nghĩa được tất cả những cái kia : Độ cong Gauss, độ cong trung bình, dạng cơ bản 2-3 . Dạng cơ bản 1 thì là metric euclid thông thường rồi :D

Uh chắc cái ây anh không được học rồi, anh chỉ nhớ là hai cái ma trân của dạng cỏa ban 1, 2 là $F_1,F_2 $ và $F_1-\lambda F_2 $ cho hai gt riêng thì đó gọi là hai độ cong chính $k_1,k_2 $ khi đó
Nếu chúng cùng dương hoặc cùng âm thì điểm đó goi là điểm Eliptic
Nếu tích <0 thì gọi là điểm hyperbolic
Nếu tích bằng không gọi là điểm Parabolic(một trong hai cái khác không)
Nếu cả hai bằng không gọi là điểm phẳng và hình như độ cong Gauss là tích hai cái này !

:hornytoro: thôi có gì mai anh xem lại nhé :P!

Đúng rồi anh ạ

Độ cong Gauss $K := k_1k_2 $ . $k_1, k_2 $ là các độ cong chính của một mặt định hướng trong $E^3 $ (không gian Euclid 3 chiều)

Độ cong trung bình $H:= \frac{k_1+k_2}{2} $

Một câu hỏi vui thôi, tại sao khi thì tương ứng gọi là elliptic, parabolic,... mà không dùng 1 cái tên khác :hornytoro:

Bác lại thử em rồi :hornytoro:, cái này nếu em nhớ không nhầm chính là ý nghĩa hh của độ Gauss, ta có thể cm đc ở lân cận điểm M có độ cong chính $k_1,k_2 $ thì mặt có dạng $z=\frac{1}{2}(k_1x^2+k_2y^2) $ do đó tùy theo dấu $k_1,k_2 $ ta có "loại của mặt" trong lân cận điểm M nên ta đặt tên theo đó cho chính xác !

Cách tốt nhất để formulate mấy cái curvatures này là dùng tới phân thớ (Bản thân schemes cũng chỉ là 1 sheaf). So let X be a scheme over some base S. Tôi sẽ cho phép cả trường hợp char = p. Let $\mathcal{E} $ be a vector bundle and $\Omega^1_{X/S} $ be the vector bundle of rank n of differential forms.

A connection là 1 map $\nabla: \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^1_{X/S} $ such that $\nabla(f\cdot s) = f \nabla(s) + df \otimes s $.

From a connection on a bundle on X we can obtain a map

$\mathcal{E} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^1_{X/S} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^2_{X/S} $

The second arrow is given by the following general definition:

$\nabla_i: \mathcal{E}\otimes \Omega^i_{X/S} \rightarrow \mathcal{E} \otimes \Omega^{i+1}_{X/S} $, which satisfies

$\nabla_i(\omega \otimes s) = d\omega \otimes \nabla(s) + (-1)^i \omega \wedge df $.

Here, $d: \mathcal{O}_X \rightarrow \Omega^1_{X/S} $ is the canonical derivation.

We will say, a curvature of a connection is the map $K(\nabla) = \nabla_1 \circ \nabla $, which is given as above.
So we may ask what is the geometric meaning of curvatures? Well, if we consider $\nabla $ as a map $Der(X) \rightarrow \underline{End}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{E}) $, so the curvature of this connection measures the failure of connection to commute with the Lie bracket operations on Derivations and $\underline{End}_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{E}) $.
Next time, i will talk about Gauß-Manin connection.

Được anh galmotcoh bày cho mấy cái này thì tốt quá. Em có đề nghị nhỏ là anh có thể giải thích bằng ngôn ngữ trực quan hơn một tẹo được không? cái này em chưa được học. Theo em hiểu thì các kiến thức cấp cao như thế này cũng là tổng quát của những cái cơ bản hơn rất nhiều và dễ tưởng tượng hơn nhiều... :)

E là khó. Theo như mình được biết thì nếu D là liên thông trên phân thớ vector hermit thì $D\circ D $ chính là tensor độ cong. Vậy tensor độ cong chính là đo sự sai khác để dãy các không gian các dạng vi phân với hệ số trong phân thớ vector hermit trên trở thành một phức vi phân (differential complex) .
Ngoài ra, tensor độ cong với đa tạp 2 chiều, xét trên phân thớ tiếp xúc có các thành phần tọa độ là độ cong Gauss , nên chắc là nó được tổng quát từ độ cong Gauss :D

:pflaster: Dạng vi phân với hệ số trong phân thớ là gì vậy ?

Vậy đại khái là curvature tensor là sự tổng quát hóa của độ cong Gauss :dumb:

Là các section của phân thớ vector $\Omega^p T^{*}X\otimes E $ trong đó $E\to X $ là phân thớ vector trên đa tạp $X $ .

các bạn có cuốn sách hình học vi phân nào mà dễ hiểu thì gửi cho mình với.