Bài hình học tổ hợp VMO 2018
 

Mội nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật cùng kích thước $120m \times 100m$.

1. Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữ nhật có kích thước $25m \times 35m$ và xây bên ngoài $9$ bồn hoa hình tròn đường kính $5m$. Chứng minh rằng dù xây trước $9$ bồn hoa ở đâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủ xây ngôi nhà đó.
2. Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây một hồ cá hình đa giác lồi sao cho từ một điểm bất kì trên phần đất còn lại có thể đi không quá $5m$ thì đến bờ hồ. Chứng minh rằng chu vi hồ không nhỏ hơn $(440-20\sqrt{2})m.$

1) Rõ ràng là chỉ cần chứng minh bài toán khi đặt 9 điểm tùy ý thì tồn tại cách đặt hình chữ nhật $30 \times 40$.
Chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ gồm 6 hình $30 \times 40$, 3 hình $40 \times 40$ nằm ngang liên tiếp nhau.
*) Nếu có 1 hình chữ nhật mà không chứa điểm nào bên trong thì hiển nhiên.
*) Ngược lại giả sử mỗi hình chữ nhật chứa đúng 1 điểm bên trong. Xét 3 điểm nằm trong 3 hình chữ nhật $40 \times 40$ liên tiếp nhau. Vẽ 3 đường thẳng đứng từ 3 điểm này. 3 đường dọc này với 2 cạnh dọc của hình chữ nhật lớn tạo thành 4 khoảng. Do đó tồn tại 1 khoảng có độ dài không vượt quá $120 / 4 = 30$. Done!
2) Từ 4 góc của mảnh đất vẽ 4 cung bán kính 5.
Hiển nhiên, phải có 1 cạnh của đa giác đi vào mỗi hình quạt. Tại mỗi hình quạt ta lấy 1 điểm nằm trên cạnh nào đó của đa giác. Ta chỉ cần chứng minh cho tứ giác này là đủ.

https://i.imgur.com/IBfxZiG.jpg

Xét 1 góc ở đỉnh $A$ như hình trên. Hạ vuông góc $DB$, $DC$. Dễ thấy $DB + DC \le 5\sqrt{2}$. Từ đó chu vi tứ giác sẽ không nhỏ hơn $2(120 + 100) - 4.5\sqrt{2} = 440 - 20\sqrt{2}$.

Câu 3b có thể chứng minh bằng cách "duỗi" đường gấp khúc như hình dưới.