Ba điểm thẳng hàng O, I, H(DEF)
 

Một bài toán với ba cách giải khác nhau.

Ba cách giải này hay nhưng không mới, hầu như đã quen thuộc. Bài toán có thể phát biêu lại dưới dạng tương đương:
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I. (I) tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. khi đó OI là đường thẳng Euler của tam giác DEF
Nếu để ý bài toán vẫn đúng khi thay đường tròn nội tiếp bằng đường tròn bàng tiếp và một cách tự nhiên có thể mở rộng bài toán cho tứ giác như sau.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với AB, BC, CD, DA theo thứ tự tại M, N, P, Q. Khi đó OI đi qua trọng tâm của tứ giác MNPQ
(Chú ý: nếu thay điều kiện ngoại tiếp đường tròn (I) bằng bàng tiếp một đường tròn (J) thì bài toán vẫn còn đúng)
Thiết nghĩ nếu đưa hai bài toán này vào bài viết thì sẽ đầy đủ và phong phú hơn

Chắc hẳn mọi người đã biết tới bài toán sau :
Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với BC,CA,AB tại D,E,F. D' đối xứng với D qua EF. Chứng minh OI,BC,AD' đồng quy.
Bổ đề để giải bài toán này là bài trên
Mình biết được cách 4 : dùng nhận xét : OI là đường thẳng Euler của tam giác bàng tiếp ( một cách giải hay với chỉ ... 2 dòng)
--------------
Bài của hien123 toàn là bài khó
Mong bạn nếu sau một thời gian không ai post lời giải lên thì bạn cho cái gợi ý

Đây là bài toán hay. Nó quen thuộc à? Bây giờ mới được biết!
Một lời giải

Bài toán trên còn là bổ đề cho hai bài toán khá hay sau:
1. Cho tam giác $ABC $ có $A_0,B_0,C_0 $ là trung điểm ba cạnh $BC,CA,AB $. $AA_0,BB_0,CC_0 $ cắt đường tròn ngoại tiếp $(O) $ tại $A_1,B_1,C_1 $. $A_2,B_2,C_2 $ là các điểm thuộc $(O) $ sao cho $AA_2,BB_2,CC_2 $ lần lượt song song với $BC,CA,AB $. Chứgn minh rằng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2 $ đồng quy tại một điểm thuộc đường thẳng Euler của tam giác $ABC $.
2. Cho tam giác $ABC $ có đường tròn $(I) $ nội tiếp, tiếp xúc với 3 cạnh tam giác tại $D,E,F $. Chân ba đường cao kẻ từ $D,E,F $ xuống ba cạnh của tam giác $DEF $ là $M,N,P $. Chứng minh rằng $AM,BN,CP $ đồng quy tại một điểm thuộc $OI $.

Bài thứ nhất đã có 3 cách giải nhưng có lẽ cách giải sử dụng bổ đề này là hay nhất.

Để giải bài toán này hãy chú ý hai kết quả sau:
(1): Giao điểm MP và NQ gọi là X thì I, O, X thẳng hàng (kq trên THTT)
(2): $MP\perp NQ $ từ đó gọi E, F là trung điểm MP, NQ thì IEXF là hình chữ nhật

Anh giải cho em bổ đề 1 với em nghĩ vẩn chưa ra