Chéo hóa
 

1. Cho $f$ là một toán tử tuyến tính của không gian vecto $V$ và $f$ khả nghịch. Cho $\lambda$ là một trị riêng của $f$. chứng minh $\lambda^{-1}$ là một trị riêng của $f^{-1}$.

2. Cho $\lambda$ là một trị riêng của toán tử tuyến tính $f$. Chứng minh $p(\lambda)$ là một trị riêng của $p(f)$ với $p \in K[t]$.

Vì $f$ khả nghịch nên $\lambda \ne 0$. Theo định nghĩa, tồn tại $v \ne 0$ sao cho
\[\left\langle {f,x} \right\rangle = \lambda x \Leftrightarrow x = \left\langle {{f^{ - 1}},\lambda x} \right\rangle = \lambda \left\langle {{f^{ - 1}},x} \right\rangle \Leftrightarrow \left\langle {{f^{ - 1}},x} \right\rangle = \frac{1}{\lambda }x.\]
Hay ${\lambda ^{ - 1}}$ là một trị riêng của ${f^{ - 1}}$.

Ý thứ hai như sau. Ta có đẳng thức $\left\langle {{f^{\left( n \right)}},x} \right\rangle = {\lambda ^n}x$. Do đó, ta có
\[\left\langle {p\left( f \right),x} \right\rangle = p\left( \lambda \right)x.\]

Cám ơn anh/chị nhiều ạ