Sự tồn tại của vô cùng bé.
 

Có hay không một hàm $\varphi :\left( {0,\varepsilon } \right) \to \mathbb{R}$ sao cho
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \varphi \left( x \right) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \varphi \left( x \right)\ln x = - \infty .\]
P/s Mình kiểm tra bằng máy tính thì thấy $\varphi \left( x \right) = \frac{1}{{\ln \left( {\ln \left( {\Gamma \left( x \right)} \right)} \right)}}$ thỏa ycbt. Nhưng vẫn chưa cm được bằng lý thuyết. Tổng quát hơn câu hỏi ban đầu là có thể thay hàm ln bằng một vô cùng lớn bất kỳ hay không.

Xét hàm $\varphi(x) =\frac1{ \ln (-\ln x)}$. Khi đó $\lim_{x\to 0^+} \varphi(x) = 0$ và $\lim_{x\to 0^+} \varphi(x) \ln x = -\infty$.