[VMO 2012] Bài 7 - Phương Trình Hàm Bài 7(6 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $; 2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $; 3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $. |
Nghiệm duy nhất của phương trình hàm này là $f(x)=4x $. f là hàm tăng nên f đơn ánh. Cho $x=0 $ta có $f(f(0))=f(0) $ nên $f(0)=0 $. Do đó nếu $x>0 $ thì $f(x)>f(0)=0 $. Bài toán quy về giải pt truy hồi X_X. Ý tưởng là thế, nếu ý tưởng đúng thì mình post tiếp :)). |
Trích:
|
Các bác chưa cm được đó là hàm liên tục thi làm sao dùng dãy số với truy hồi được? |
Ý tớ thế này dãy truy hồi Un=Un-1+12Un-2 tìm được 2 nghiệm rồi tìm được công thức tổng quát. sau đó thay Uo=x, U1=f(x) cho ta f(x)+3x=5l hoặc f(x)-4x=7k, thay lại vào pt ban đầu loại TH f(x)+3x=5l do hàm đồng biến. Tớ dùng di động, không có máy tính không đánh đc latex các bạn thông cảm nhé! |
Trích:
|
Phải song ánh thì mới dùng được truy hồi như trên à? |
Bài này có 2 nghiệm, $f(x)=-3x $ hoặc $f(x)=4x $, nhỷ ? |
Trích:
|
Trích:
|
Ai đó giải chi tiết được không? :| |
Trích:
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $ Đặt $U_n=f_n(x) $ Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $ Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $ Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3; t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $ Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được $f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $ Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $ Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $ |
Trích:
|
A, B đâu cố định làm cách trên bỏ hẳn đi điều kiện toàn ánh |
Trích:
|
Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:56 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.