Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   2012 (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=175)
-   -   [VMO 2012] Bài 7 - Phương Trình Hàm (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=27844)

n.v.thanh 12-01-2012 11:36 AM

[VMO 2012] Bài 7 - Phương Trình Hàm
 
Bài 7(6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;
2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;
3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $.

n.v.thanh 12-01-2012 11:56 AM

Nghiệm duy nhất của phương trình hàm này là $f(x)=4x $.
f là hàm tăng nên f đơn ánh. Cho $x=0 $ta có $f(f(0))=f(0) $ nên $f(0)=0 $.
Do đó nếu $x>0 $ thì $f(x)>f(0)=0 $. Bài toán quy về giải pt truy hồi X_X. Ý tưởng là thế, nếu ý tưởng đúng thì mình post tiếp :)).

shido_soichua 12-01-2012 11:58 AM

Trích:

Nguyên văn bởi n.v.thanh (Post 133101)
Nghiệm duy nhất của phương trình hàm này là $f(x)=4x $.
f là hàm tăng nên f đơn ánh. Do đó f toàn ánh. Cho x=0 ta có f(f(0))=f(0) nên f(0)=0.
Do đó nếu x>0 thì f(x)>f(0)=0. Bài toán quy về giải pt truy hồi X_X. Ý tưởng là thế.

Uh tớ cũng làm thế. Có chỗ cuối xử lá cái hàm $c_1(x) $ với $c_2(x) $ sao cho đẹp thôi

tranvuxuannhat 12-01-2012 12:10 PM

Các bác chưa cm được đó là hàm liên tục thi làm sao dùng dãy số với truy hồi được?

hahaha712 12-01-2012 12:16 PM

Ý tớ thế này
dãy truy hồi Un=Un-1+12Un-2
tìm được 2 nghiệm rồi tìm được công thức tổng quát.
sau đó thay Uo=x, U1=f(x) cho ta f(x)+3x=5l hoặc f(x)-4x=7k, thay lại vào pt ban đầu loại TH f(x)+3x=5l do hàm đồng biến.
Tớ dùng di động, không có máy tính không đánh đc latex các bạn thông cảm nhé!

shido_soichua 12-01-2012 12:18 PM

Trích:

Nguyên văn bởi tranvuxuannhat (Post 133112)
Các bác chưa cm được đó là hàm liên tục thi làm sao dùng dãy số với truy hồi được?

Đâu cần hàm liên lục đâu bạn f song ánh

Thanh vien 12-01-2012 12:35 PM

Phải song ánh thì mới dùng được truy hồi như trên à?

n.v.thanh 12-01-2012 12:35 PM

Bài này có 2 nghiệm, $f(x)=-3x $ hoặc $f(x)=4x $, nhỷ ?

huynhcongbang 12-01-2012 12:39 PM

Trích:

Nguyên văn bởi n.v.thanh (Post 133128)
Bài này có 2 nghiệm, $f(x)=-3x $ hoặc $f(x)=4x $, nhỷ ?

Cái này là hàm tăng thì sao mà $f(x)=-3x $ được em.

huynhcongbang 12-01-2012 12:40 PM

Trích:

Nguyên văn bởi thuythuy (Post 133129)
Mình dùng deg để giải ra luôn dang y= ax + b

Đây đâu phải là PTH đa thức đâu mà có deg nữa bạn. :-??

Thanh vien 12-01-2012 12:52 PM

Ai đó giải chi tiết được không? :|

truongvoki_bn 12-01-2012 01:18 PM

Trích:

Nguyên văn bởi n.v.thanh (Post 133079)
Bài 7(6 điểm)

Tìm tất cả các hàm số $f $ xác định trên tập số thực $\mathbb R $, lấy giá trị trong $\mathbb R $ và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1/ $f $ là toàn ánh từ $\mathbb R $ đến $\mathbb R $;
2/ $f $ là hàm số tăng trên $\mathbb R $;
3/ $f(f(x))=f(x)+12x $ với mọi số thực $x $.

Làm thế này đúng không nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $

Đặt $U_n=f_n(x) $



Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $

Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $

Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm

$t_1=-3; t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $

Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được

$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $

Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $


shido_soichua 12-01-2012 01:20 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn (Post 133148)
Làm thế này đúng khôn nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $

Đặt $U_n=f_n(x) $

Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $

Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $

Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3;
t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $

Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được

$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $

Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $

X_X

Không được đâu bạn ạ. $A $ và $B $ không phải là hai số mà là hai hàm theo biến $x $

Thien tai 12-01-2012 01:21 PM

A, B đâu cố định làm cách trên bỏ hẳn đi điều kiện toàn ánh

TKT 12-01-2012 01:26 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn (Post 133148)
Làm thế này đúng không nhể??
Sử dụng (1) và (2) dễ chứng minh được $f(0)=0 $

Đặt $U_n=f_n(x) $

Khi đó ta có:$U_1=f(x);U_0=x $

Ta có được:$U_{n+2}=U_{n+1}+12U_n $

Xét phương trình đặc trưng:$t^2-t-12=0 $ có hai nghiệm $t_1=-3;
t_2=4 \Rightarrow U_n=(-3)^n.A+4^n.B $

Kết hợp:$U_1=f(x);U_0=x $ ta có được

$f(x)=4x-7A $ hoặc $f(x)=7B-3x $

Mà $f(0)=0 $ $\Rightarrow f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $
Vì $f(x) $ là hàm tăng nên $f(x)=4x $

X_X

Không đúng đâu bạn, vì từ $ f(x)=4x $ hoặc $f(x)=-3x $ chỉ suy ra với mỗi x cụ thể thì f(x) nhận 1 trong 2 giá trị đó thôi, chưa suy ra hàm được. Nếu làm theo hướng này thì phải xét trường hợp tồn tại hàm f sao cho tồn tại a và b mà $ f(a)=4a $ và $f(b)=-3b $, từ đó dẫn đến mâu thuẫn mới kết luận hàm được; nhưng chứng minh được cái đó cũng hơi bị khó đấy. Với lại bạn còn chưa sử dụng giả thiết hàm toàn ánh nữa.


Múi giờ GMT. Hiện tại là 11:56 AM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 18.63 k/20.01 k (6.86%)]