Nhóm hoán vị Abel
 

Cho G là một nhóm con Abel có cấp 1111 trong $S_{999}$. Chứng minh rằng tồn tại $i \in \{1,2,...,999 \}$ sao cho $a(i)=i$ $\forall a \in G$.

Theo định lý phân tích các nhóm Abel hữu hạn thì nhóm $G$ có cấp $1111$ là nhóm cyclic. Đặt $G = \left\langle \sigma \right\rangle $, giả sử với mọi $i \in \left\{ {1,2, \ldots ,999} \right\}$ tồn tại $\varphi \in G$ sao cho $\varphi \left( i \right) \ne i$. Vi $\varphi$ là một lũy thừa của $\sigma$ , ta có $\sigma \left( i \right) \ne i$. Điều này chứng tỏ trong phân tích $\sigma$ thành các chu trình rời nhau có độ dài của mỗi chu trình là $k_i$ thì $k_1 + k_2 + \cdots + k_n =999$ và $k_i$ chỉ nhận một trong hai giá trị $11,101$ do đó tồn tại $s,t \in \mathbb{N}^*$ sao cho
\[11s + 101t = 999\]
Tuy nhiên nhận thấy phương trình $11s + 101t = 999$ không có nghiệm nguyên dương nên ta có điều cần chứng minh. :bihiem::bihiem: