Chứng minh rằng $v_n-2$ chia hết cho $2^n$
 

Cho {$u_n$}, {$v_n$}, {$w_n$} là các dãy số được xác định bởi $u_0=v_0=w_0=1$ và
$\left\{\begin{matrix}
u_{n+1}=-u_n-7v_n+5w_n & & \\
v_{n+1}=-2u_n-8v_n+6w_n& & \\
w_{n+1}=-4u_n-16v_n+12w_n& &
\end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng $v_n-2$ chia hết cho $2^n$

Từ giả thiết ta có $w_n=2v_n,\forall n\geq 1$. Từ đây ta có các dãy số $(u_n),(v_n)$ thỏa: $u_1=-3,v_1=-4$ và
$$\begin{cases}u_{n+1}=-u_n+3v_n\\ v_{n+1}=-2u_n+4v_n\end{cases},\forall n\geq 1.$$

Từ đây bằng quy nạp, ta chứng minh được $u_n=v_n+1,\forall n\geq 1$ nên $v_{n+1}=2v_n-2$ hay $v_{n+1}-2=2(v_n-2)$. Từ đây cũng bằng quy nạp ta được điều phải chứng minh.