[VMO 2012] Bài 6 - Số học
 

Bài 6 (7 điểm)

Xét các số tự nhiên lẻ $a,b $ mà $a $ là ước số của $b^2+2 $ và $b $ là ước số của $a^2+2 $. Chứng minh rằng $a $ và $b $ là các số hạng của dãy số tự nhiên $(v_n) $ xác định bởi

Cái này chả là nghiệm của pt Markov $a^2+b^2+2=k.ab $ à :-??:-??

Bài này quen quá mà :-ss

Bài này Viet nhay khá là quen

Bài này có thể dùng điều kiện cần và đủ để làm cho đầy đủ.
Điều kiện đủ là một kết quả quen thuộc về dãy số:
Các số hạng của dãy $(v_n) $ thoả mãn điều kiện: $v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $.

Chuyển về đưa về dạng $v_{n-2}=4v_{n-1}-v_n $ là thành điều kiện tương đương luôn mà anh

Vậy nếu viết được đến công thức này:
$v_{n}v_{n+2}=v^2_{n+1} +2 $
nhưng không chứng minh được phần sau thì có được điểm không ạ?

sai đề rùi tí làm tớ hoảng

Phải là
$v_1=v_2=1 $ và $v_n=4v_{n-1}-v_{n-2} $ với mọi $n \ge 3 $
mới đúng ạ.

BÀi này mình chứng minh 3 bước:
i, Tất cả các cặp (a,b) thỏa mãn yêu cầu bài toán là nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-kab+2=0 $.
ii, k=4.
iii, Tất cả các nghiệm tự nhiên của phương trình $a^2+b^2-4ab+2=0 $ đều có dạng $\left ( v_n,v_{n+1} \right ) $.

Các anh chị ơi nếu em chỉ xét rằng k chẵn, xét trường hợp k = 4 mà chưa chứng minh cho k=4 thì có được điểm nào không ạ.

Bài giải 6
 

Bài giải hơi dài, check hộ nhé.
Có cách nào ngắn hơn không nhỉ?

Giống mình thế. Bạn là học sinh trường nào vậy?

Ta chỉ xét trường hợp cả $a $ và $b $ đều > 1

Nhận xét 1: $(a,b) = 1 $

thật vậy nếu $(a,b) = d > 1 $ thì do $a $ và $b $ đều lẻ nên $d \ge 3 $. Mà theo đề bài thì $b^2 + 2 $ chia hết cho $a $, do đó $2 $ chia hết cho $d $. vô lý

Nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $.
Thật vậy, do $a^2 + 2 $ chia hết cho $b $ nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $b $, tuông tự a^2 + b^2 + 2 chia hết cho a. Ngoài ra theo nhận xét $1 $ thì $(a,b) = 1 $, nên $a^2 + b^2 + 2 $ chia hết cho $ab $.

Hệ quả của nhận xét 2: $a^2 + b^2 + 2 = kab $ với $k $ nào đó nguyên dương.

Nhận xét 3: nếu $a>b $ thì $(k-1)b < a < kb $
Thật vậy, $a^2 - (k-1)ab = ab - b^2 - 2 = (a-b)b^2 - 2 > 0 $. nên $a > (k-1)b $. Và, $a^2 < kab $ nên $a < kb $

Nhận xét 4: nếu $(a_0,b_0) $ với $a_0 > b_0 $ thỏa mãn $a_0^2 + b_0^2 + 2 = ka_0b_0 $ thì $(b_0,kb_0-a_0) $ cũng thỏa mãn.

Với nhận xét 1 đến 4 thì ta sẽ thu được dãy $(a_n,b_n) $ với $a_{n+1} = b_n $ và $b_{n+1} = kb_n-a_n $.
Dãy đó sẽ dừng khi $b_n = 1 $ với $n = n_0 $ nào đó. Ta sẽ chứng minh lúc đó $a_n = 3 $. Thật vậy: $a_n^2 + b_n^2 + 2 = $ $ka_nb_n $ nên $a_n^2 + 3 = ka_n $. Do đó $a_n | 3 $ mà $a_n > 1 $ nên $a_n = 3 $. và $k = 4 $

Vậy ta có $a_{n_0} = 3, b_{n_0} = 1 $
Đặt $v_{1} = 1, v_{2} = b_{n_0} = 1 $.
Ta có $a_{n_0} = 3 = v_{3}. $
$ b_{n_0-1} = a_{n_0} = v_{3}; a_{n_0-1} = 4b_{n_0-1} - b_{n_0} = v_{4} $. Cứ như thế ta có $a_0 $ và $b_0 $ là phần tử của dãy $v_n $

Bạn nào cần tìm hiểu thêm về phương pháp trên có thể Google với từ "Vieta jumping".