Chính phương modulo nguyên tố bất kỳ có là chính phương?
 

Một số nguyên $a $ được gọi là chính phương modulo $p>1 $ nếu có số nguyên $x $ thỏa mãn $a\equiv x^2 (mod\; p) $. Rõ ràng là mọi số chính phương đều là chính phương modulo $p $ với $p $ là số nguyên tố bất kỳ.

Có câu hỏi sau đây tôi nghĩ khá khó (vì vậy tôi post vào đây :hornytoro: ):

Một số nguyên dương là chính phương modulo $p $ với mỗi $p $ là số nguyên tố liệu có nhất thiết phải là số chính phương hay không?

Theo tui , số đó chắc chắn phải là số chính phương . Bởi vì tập hợp so nguyên tố là vô hạn nên ta có thể chọn được số nguyên tố đủ lớn để số nguyên tố đó lớn hơn số tự nhiên mà ta chọn , khi đó số tự nhiên đó sẽ đồng dư với chính nó . Vì vậy , số đó chắc chắn là số chính phương .:-h

Bạn post cụ thể ra xem nào. Mình không hiểu.

Kết quả thì đúng là số đó phải là số chính phương thật, hồi lâu mình tham gia bên mathlinks thấy nói vậy . Nhưng chưa bao giờ thấy chứng minh của nó, có thể lý thuyết số sơ cấp không thể giải quyết được vấn đề này.

Không bít mình làm có đúng không nhưng mình nghĩ bài này khá dễ . Thực chất chỉ là vì $a $ là chính phương modulo với mọi $p $ nguyên tố nên với mỗi $a $ ta có thể chọn được một số nguyên tố $p $ nào đó lớn hơn $a $ ,khi đó $a $ sẽ đồng dư với chính nó theo modulo $p $ . Khi đó theo định nghĩa về chính phương modulo có được $a $ phải là số chính phương .:))

Lập luận sai rồi. Sai ở đâu, thì ngồi suy nghĩ lại nhé .

Phản ví dụ : 2 chính phương modulo 7 .

Cái này ms tham gia thảo luận 1 lần [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...].

PS: Bài báo của Trost [1] Nieuw Arch. Wisk, 18 (1934) pp58-61.
Bài báo của Ankeny và Rogers: [2] Ann. of Math. (2) 53 (1951) pp 541-550
Một chứng minh khi n=2: trong tác phẩm của LeVeque: [3] Fundamental of NT 1978.

Ông Hưng có sách đó thì upload lên đây đi!

Bài này cũng hơi cũ rồi. Cái topic thày Mr Stoke chia sẻ, hình như ngày trước là do em post, nhưng mà giờ không cờn vào được nữa. Chứng minh dùng luật thặng dư bậc 2, cũng khá lằng nhằng vì ở đây
phải dùng định lí Dirichlet. Thày mr Stoke còn mấy bài báo ở trên thì post lên nhé.

Bài báo của Trost khó tìm lắm, tốt nhất một bạn nào đang ở nước ngoài tìm là dễ nhất. Nhưng có thể tìm được chứng minh của Trost trong một quyển sách mới xuất bản gần đây mà tự nhiên MS quên tên, hình như là cái gì đó kiểu như "Luật tương hỗ". Còn bài trên Annal thì dễ tìm thôi mà.

Có một chứng minh dùng định lý Chebotarev. Hôm nào rảnh tôi sẽ viết một bài.

Hì, em vẫn nhớ ngày xưa được thầy Mr Stoke dạy một ít về phần chính phương nguyên tố, phần này khá hay. lên ĐH được đọc một ít về nó nữa, nhưng toàn sách tiếng việt, viết không được đủ cho lắm. nếu ai biết cho em xin một ít ạ.
còn bài toán trên thì em thấy không khó để giải quyết lắm chỉ cần các anh dùng phản chứng và dùng định lí Euler. em không biết sài latex nên chịu không viết được.

Anh Tuân vẫn nợ mọi người một bài ở đây đấy nhé. Em chưa bao giờ nghe tên định lí này, chắc là không phải định lí sơ cấp.

Yên tâm, tớ sẽ nhắc thằng này. :redeye: