bđt số học
 

cho 1<n.cm
$\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n}<\frac{ 3}{4} $

Đặt $S_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n} $ (1)

Ta có $3S_n=1+\frac{2}{3}+\frac3{3^2}+...+\frac{n}{3^{n-1}} $ (2)

Trừ (2) cho (1) theo vế đc:

$2S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n} $ $<1+ P_n $ (*)

Ở đây $P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}} $(3)

Nếu chưa học CSN thì tiếp tục

$\frac1{3}P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}} $ (4)
Lại trừ (3) cho (4) => $\frac2{3}P_n= \frac{1}{3}-\frac{1}{3^n} <\frac1{3} $
=>$P_n<\frac1{2} $
Kết hợp (*) có ngay dpcm :secretsmile:

còn có cách cm bằng quy nạp nữa, cũng khá hay

em giải thế này đúng chứ
 

ta thấy bđt đúng với n=2
giả sử đúng với n=k, nghĩa là $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n} <\frac{3}{4} $
tương đương với $P=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+\frac{n}{3^(n+1) }<\frac{1}{4} $
ta sẽ cm với n=k+1 thì bđt cũng đúng
$\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n+1}{3^(n+1)}
=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^(n+1)}+P
=S+P $
dễ thấy $\frac{S}{3}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{ 1}{3^(n+2)} $
nên $\frac{2S}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^(n+2)}
hay S=\frac{3}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{3^(n+2)})<(\frac{3}{2} )(\frac{1}{3})=\frac{1}{2} $
vậy$ S+P<\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} $