bđt số học cho 1<n.cm $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n}<\frac{ 3}{4} $ |
Trích:
Ta có $3S_n=1+\frac{2}{3}+\frac3{3^2}+...+\frac{n}{3^{n-1}} $ (2) Trừ (2) cho (1) theo vế đc: $2S_n=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n} $ $<1+ P_n $ (*) Ở đây $P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}} $(3) Nếu chưa học CSN thì tiếp tục $\frac1{3}P_n= \frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{n-1}} $ (4) Lại trừ (3) cho (4) => $\frac2{3}P_n= \frac{1}{3}-\frac{1}{3^n} <\frac1{3} $ =>$P_n<\frac1{2} $ Kết hợp (*) có ngay dpcm :secretsmile: |
Trích:
|
Bạn cần nêu biểu thức đề quy nạp lên đi cái này mà xơi trực tiếp quy nạp thì gẫy răng :D ( do vế phải là hằng số , vế trái tăng ) |
em giải thế này đúng chứ Trích:
giả sử đúng với n=k, nghĩa là $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n}{3^n} <\frac{3}{4} $ tương đương với $P=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+...+\frac{n}{3^(n+1) }<\frac{1}{4} $ ta sẽ cm với n=k+1 thì bđt cũng đúng $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{n+1}{3^(n+1)} =\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^(n+1)}+P =S+P $ dễ thấy $\frac{S}{3}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{ 1}{3^(n+2)} $ nên $\frac{2S}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^(n+2)} hay S=\frac{3}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{3^(n+2)})<(\frac{3}{2} )(\frac{1}{3})=\frac{1}{2} $ vậy$ S+P<\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4} $ |
Múi giờ GMT. Hiện tại là 10:27 AM. |
Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.