Bài tập về không gian mêtric topo
 

Cho hàm $\[f\] $ xác định trên không gian mêtric $\[\left( {X,d} \right)\] $ trong đó $\[X = \mathop U\limits_{i = 1}^n {F_i}\] $ với $\[{F_i}\] $ là các tập đóng trong $\[\left( {X,d} \right)\] $. Chứng minh rằng nếu với mỗi $\[i = 1,2,..,n\] $ các ánh xạ $\[{f_{\left. {} \right|}}_{{F_i}}\] $ liên tục thì $\[f\] $ liên tục trên $\[X\] $.

Mình nghĩ đây là một bài tập hay cho những ai mới học không gian topo-metric. Mình gợi ý lời giải là : bạn lấy một tập đóng bên không gian đích, rồi xét ảnh ngược của tập ý.

Anh 99 có thể cho lời giải chi tiết luôn được không? vì em mới học về topo nên vẫn chưa hiễu rõ lắm đâu.:-<

Ừm, ở đây ta sử dụng tính chất của tập đóng : hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng, và một tính chất nữa là : tập con đóng của không gian con đóng là đóng trong không gian "mẹ". Tức là nếu $F\subset F_i $ đóng trong $F_i $ thì $F $ đóng trong $X. $

Lấy một tập đóng $B\subset\mathbb{R} $ (nếu $\mathbb{R} $ là không gian đích của $f $). Khi đó $f^{-1}(B) = \bigcup_{i=1}^n (f_{|_{F_i}})^{-1}(B) $. Đến đây bạn làm tiếp nhé :)