Đa thức trong vành
 

Cho p là số nguyên tố. Hãy tìm những đa thức trong vành đa thức $Z_p[x]$ có đạo hàm đồng nhất bằng 0.

Xét đa thức $f\left( x \right) \in {\mathbb{Z}_p}\left[ x \right]$ khi đó $f\left( x \right)$ có dạng
\[f\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \cdots + {a_n}{x^n}\]
Khi đó
\[{f^\prime }\left( x \right) = {a_1} + 2{a_2}x + \cdots + n{a_n}{x^{n - 1}}\]
Do đó ${f^\prime }\left( x \right) \equiv 0$ khi và chỉ khi
\[p\mid k{a_k}\]
với mọi $k \in \overline{1,n-1}.$

Hoặc có thể viết dưới dạng $f(x) = \sum a_k x^{kp}$.