[VMO 2014] Bài 4 - Hình học phẳng
 

Bài 4.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ với $AB<AC.$ Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC.$ Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $B$ và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F.$
a. Chứng minh rằng $EF=\frac{BC}{2}$.
b. Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $B$. Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD.$

a) Theo tính chât đối xứng trục thì $EF$ là đường trung bình của tam giác $KBC$ nên ta có đpcm.
b) Chú ý $\widehat{IPK}=\widehat{IPB}+ \widehat{BPK} =\widehat{ICB}+\widehat{KNB}=90^0$ (do $M$ là trực tâm $IKC$) suy ra $S$ là trung điểm cung lớn $BC.$
Hướng 1: Dùng tính chất $K$ là trực tâm tam giác $ADI$, chứng minh $AKDS$ hình bình hành ($SD||AC, SR||AD$).
Hướng 2: Cần chứng minh $(BCQZ)=-1$ hay $BKCU$ là tứ giác điều hòa, điều này hiển nhiên do $\widehat{IPK}=90^0$.

Câu 4:
a) Ta có $EF$ là đường trung bình của tam giác $KBC$ nên ta có đccm.
b) Gọi $L$ là trung điểm $BC$, $T$ là trung điểm $AD$, ta cần chứng minh $\widehat{PKC}=\widehat{TAK}$, hay ta chứng minh $\widehat{CKP}=\widehat{BKL}$, hay ta chứng minh $KP$ là đường đối trung của tam giác $KBC$, hay $KP$ đi qua điểm chính giữa cung $CB$ chứa $A$.
Để ý rằng $K$ là trực tâm của $API$, N là trực tâm của $IKC$, và $KC$ là tiếp tuyến tại $K$ của $(NKB)$ và $\widehat{CKP}=\widehat{DAP}=\widehat{DIP}$ suy ra $KFPI$ nội tiếp, suy ra $\widehat{KPI}=\widehat{KFI}=90$, suy ra $KP$ đi qua điểm chính giữa cung $BC$, ta có đccm.

Câu a) Gọi J là tâm nội tiếp $\Delta ABC$ thì $IJ=IB=IC=IK$.
Trong $(I;IB)$ thì $\widehat{KIJ} = 2\widehat{KCJ} = C$.
Trong $(ABC)$ thì $\widehat{BIJ} = C$.
Suy ra $IJ$ là phân giác $\widehat{KIB}$ hay $AI$ là trung trực $KB$. Tương tự $DI$ là trung trực $KC$, suy ra $E, F$ là trung điểm $KB,KC$.

Em gọi nhầm điểm S thành điểm chính giữa nhưng thực ra S là điểm đối xứng với I qua O, nhưng sau em vần nói là S,I,O thảng hàng, vẫn làm đúng đoạn sau thì có bị trừ điểm ko ạ

Gọi $AD$ giao $EF$ tại $G$. Sau khi chứng minh $\angle KPI=90^\circ$, suy ra $(ADI)$ cắt $(EFI)$ tại $P$, hay $P$ là điểm Miquel của tứ giác nội tiếp $AEFD$, tức là $P$ nằm trên $IG$. Theo định lý Brocard suy ra $KP$ đi qua tâm ngoại tiếp của tứ giác $AEFD.$

Theo mình bài hình câu b có thể chưng minh đơn giản hơn. chỉ cần dùng tam giác đồng dạng. để y là 3 điểm P,N,F thẳng hàng suy ra 2 tam giác ATK đồng dạng với PFK và DTK đồng dạng với PFC

hình vmo 2014
 

A) $E, F$ lần lượt là trung điểm $KB, KC$ nên $EF = \frac{1}{2} BC$
b) Xét đường tròn $(BKN),$ ta có:
$\angle MKC = \angle MCK = \angle CAD = \angle CAD = \angle NBK$
do đó đường tròn này tiếp xúc $AK.$ Vì tính đối xứng qua $AI$ mà nó cũng tiếp xúc $AB.$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song $AD$ cắt $AP$ tại $X.$
Ta có $\angle KXP= \angle DAP = \angle KBP$ nên $X$ thuộc đường tròn $(BKN).$
Gọi $Y$ là giao điểm của $AP$ và $BD$ khi đó ta có $(AYXP) = -1$
suy ra $K(AYXP) = -1$ mà $DA // KX$ nên $DA$ cắt chùm này tại $D, G, A$ trong đó $G$ là trung điểm $AD$ hay $PK$ đi qua trung điểm $AD$
------------------------------
A) $E, F$ lần lượt là trung điểm $KB, KC$ nên $EF = \frac{1}{2} BC$
b) Xét đường tròn $(BKN),$ ta có:
$\angle MKC = \angle MCK = \angle CAD = \angle CAD = \angle NBK$
do đó đường tròn này tiếp xúc $AK.$ Vì tính đối xứng qua $AI$ mà nó cũng tiếp xúc $AB.$
Qua $K$ kẻ đường thẳng song song $AD$ cắt $AP$ tại $X.$
Ta có $\angle KXP= \angle DAP = \angle KBP$ nên $X$ thuộc đường tròn $(BKN).$
Gọi $Y$ là giao điểm của $AP$ và $BD$ khi đó ta có $(AYXP) = -1$
suy ra $K(AYXP) = -1$ mà $DA // KX$ nên $DA$ cắt chùm này tại $D, G, A$ trong đó $G$ là trung điểm $AD$ hay $PK$ đi qua trung điểm $AD$