Bài toán về mặt cầu đơn vị
 

Trong $\mathbb R^{n+1} $ xét mặt cầu đơn vị $S^n $.
1) Tính $T_x(S^n) $ với $x\in S^n $
2) Chứng tỏ không tồn tại 1 phép dìm từ $S^n $ vào $\mathbb R^n $
3) i) Chứng minh mỗi trường vecto nhẵn X trên mặt cầu $S^{2n} $đều có ít nhất 1 không điểm
ii) Chỉ ra 1 trường vecto nhẵn X trên $S^{2n+1} $ mà không có không điểm

Câu 2 là hệ quả của bài 3 mà anh Mít Đặc gửi [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Câu 3i : Nếu trường vector mà không có không điểm thì đặc trưng Euler của đa tạp bằng 0. Mà đặc trưng Euler của $S^{2n} $ là 2, khác không.

99 có thể giải thích rõ hơn chỗ này được không?

Ở câu 1), để tìm không gian phân thớ $T_x(S^n) $, ta cần tìm cơ sở của không gian này, cụ thể là tìm $v_i([f])=\frac{\partial (fo\varphi^{-1})}{\partial x_i}|_\varphi (a) $ với $[f] $ là mầm hàm nhẵn tại $x $, $\varphi $ là ánh xạ của bản đồ địa phương tại $x;i=1,2,..., n $. Tuy nhiên $v_i $ phụ thuộc $f $ nên chẳng lẽ phải tìm tất cả $f $ (điều không tưởng :beated:)?

M compact nên một hàm số liên tục trên M sẽ đạt max và min trên đó. Tại các điểm đó, một hàm khả vi sẽ có đạo hàm bằng 0.

$T_xM $ được gọi là không gian tiếp xúc tới đa tạp M tại điểm x, chứ không phải là "không gian phân thớ". Không gian tiếp xúc tại x của $S^n $ chính là siêu phẳng vuông góc với vector $\overrightarrow{Ox} $ tại điểm $x $. Cách định nghĩa không gian tiếp xúc của bạn viết ở trên chỉ là định nghĩa hình thức. Nếu bạn mới học hình học vi phân thì nên đọc những định nghĩa trực quan, chứ một phát đa tạp tổng quát ngay thì bạn chỉ hiểu hình thức được thôi.

Cảm ơn 99. Nhờ 99 xem hộ mình bài này: [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]