Bài tập 2.15 trong Atiyah & MacDonald
 

Mình không nghĩ ra được bài 2.15 trong sách Atiyah & MacDonald và search trên mạng. [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] có câu hỏi tương tự của mình. Ở một vài chỗ khác, nói chung đều quy về $x_i$ thuộc $<y_i - \mu_{ij}(y_i)>$ với chỉ số $i$ nào đó. Bạn có thể thử xem lập luận trong link trên. Mình nghĩ mình hiểu đầy đủ ý của lời giải đó, nhưng mình cảm thấy không liên quan lắm. Chẳng hạn tập chỉ số là $\mathbb{N}$ và ta giả sử phần tử $x_2$ có dạng
$$(x_{13}-\mu_{13}(x_{13}))+(x_{12}-\mu_{12}(x_{12}))+(x_{23}-\mu_{23}(x_{23})),$$
có thể xảy ra trường hợp $x_{13}+x_{12}=0, \mu_{13}(x_{13})+\mu_{23}(x_{23})=0$ và ta chỉ thu được $x_2=x_{23}-\mu_{12}(x_{12})$, ngay cả khi ta giả thiết 3 là số bé nhất số các số hạng trong khai triển của $x_2$ thì chuyện đó cũng không giúp gì hơn. Mình biết định nghĩa sau thường được dùng hơn [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] nhưng mình vẫn muốn học cách xây dựng giới hạn trực tiếp này.

Đúng là như thế, không cần phải chọn n là số nhỏ nhất. Thực chất thì cách xây dựng trên wiki là tổng quát còn trong sách Antiyah-Macdonald chỉ nói về lim theo kiểu luôn tồn tại. Điều đó chẳng ảnh hưởng bởi các lim là đẳng cấu với nhau.

Sao lại không cần chọn số n nhỏ nhất, vậy bạn chứng minh như thế nào? Chứng minh 2 định nghĩa về giới hạn trực tiếp là tương đương với nhau tương đương với chứng minh cái đó. Chẳng lẽ ý của bạn là định nghĩa của Atiyah không tương đương định nghĩa trên wiki.

Không! Tất nhiên là định nghĩa thì chỉ có 1 và cụ thể thì đó là ở wiki đã ghi. Ở cuốn AM chỉ nói về 1 $\underleftarrow{lim} M_{i}=C/D$ của họ A-module $M_{i}$ và họ các đồng cấu ${\mu_{ij}}$. Thực chất với 1 họ bất kì như trên thì $\underleftarrow{lim} M_{i}$ có rất nhiều. Phải hiểu $\underleftarrow{lim} M_{i}$ trong cuốn AM không phải là duy nhất, nó chỉ là chứng minh sự tồn tại $\underleftarrow{lim} M_{i}$ của hệ thuận bất kì mà thôi.

Còn việc chứng minh không cần dùng n bạn cứ thử ngồi giải lại xem sao. Chỉ cần chú ý một điều rằng: Phân tích của một phần tử x trong tổng trực tiếp là duy nhất.

Ý của bạn là giới hạn trực tiếp $\underleftarrow{lim}$?
Trong wiki có đến 2 cách định nghĩa đó. Không rõ ý bạn là gì khi nói chỉ có 1 cách định nghĩa. Định nghĩa nào được sử dụng là tùy thuộc vào mục đích của ta chứ, chẳng hạn như để tính toán cụ thể đối tượng đó. Coi tính chất phổ dụng là cái có trước, e rằng bạn đã hiểu sai về cách toán học đi lên. Chẳng hạn đọc topo đại số của Allen Hatcher, tác giả còn không đề cập đến tính phổ dụng chứ đừng nói là định nghĩa bằng cái đó.

Quay lại cái thắc mắc kia, hồi đó mình đang cố đưa ra một phản ví dụ của cái lập luận kia. Chắc là mình sai thôi nhưng giờ chuyện đó không quan trọng lắm vì nó quá lâu và mình không còn quan tâm nữa. Nhưng bạn lại bảo thậm chí không cần giả sử n nhỏ nhất. Mình dốt không nghĩ ra tại sao nhưng bạn đã không muốn đưa lời giải thì thôi.
------------------------------
Mình đã xem lại và hóa ra tác giả lời giải đã giải thích lý do chọn n nhỏ nhất trong cmt rồi. Lúc đó mình không đọc kỹ và tưởng rằng lý do chọn n nhỏ nhất rất đơn giản nên mới có một post nhầm lẫn như này.