Diễn Đàn MathScope

Diễn Đàn MathScope (http://forum.mathscope.org/index.php)
-   Việt Nam và IMO (http://forum.mathscope.org/forumdisplay.php?f=144)
-   -   Vietnam TST 2009 (http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=8402)

pte.alpha 18-04-2009 06:24 PM

Vietnam TST 2009
 
Hôm nay thi ngày thứ nhất.

Có ba bài.

Bài 1: Hình. Hầu hết đều làm được.

Bài 2: Đại số. Chỉ có 1 số làm được.

Bài 3. Số học. Số làm được còn ít hơn nữa.

Tạm thời tôi chỉ nhớ được 2 bài: 2 và 3

Bài 2. Cho đa thức $P(x) = rx^3 + qx^2 + px + 1 $ (r>0) chỉ có một nghiệm thực và nghiệm đó không phải là nghiệm bội. Dãy số $a_n $ xác định như sau
$a_0 = 1, a_1 = -p, a_2 = p^2 - q $
$ a_{n+3} = -pa_{n+2} - qa_{n+1} - ra_{n} $
Chứng minh rằng dãy số chứa vô số số hạng âm.

Bài 3. Cho a, b là các số nguyên dương không chính phương, a.b cũng không chính phương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình
$ax^2 - by^2 = 1 $ và $ax^2 - by^2 = - 1
$
không có nghiệm nguyên dương.

lekhanhung 18-04-2009 06:41 PM

Tớ thấy đề vòng 2 năm nay không khó lắm nhỉ:-?

Quân -k47DHV 18-04-2009 06:43 PM

chắc cậu này thj IMO 2008 rồi

Lưu Dung_gù 18-04-2009 06:45 PM

Quân thi về làm bài có tốt không cậu?

Mr Stoke 18-04-2009 07:54 PM

Bài năm nay khó thật. Bài cuối cùng là kết quả được tìm ra khoảng vào năm 1967, ý tưởng chứng minh thế này: Phản chứng giả sử cả hai phương trình có nghiệm. Lấy $(\alpha,\alpha') $ là nghiệm của phương trình (1) và giả sử rằng phương trình với dấu -1 có nghiệm, dùng phép đổi biến lên phương trình với dấu -1 là $x=\alpha u+\alpha' b v,y=\alpha' u+\alpha av $ thì suy ra phương trình $u^2-ab v^2=-1 $ có nghiệm.

Tuy nhiên có thể chứng minh rằng với a,b như giả thiết mà phương trình $u^2-ab v^2=-1 $ có nghiệm thì cả hai phương trình $ax^2-by^2=\pm1 $ vô nghiệm. Lí luận không dài lắm nhưng rối.

Trong phòng thi mà làm được trọn vẹn bài 3 thì quả là rất giỏi. :hornytoro:

duongchinh_k41 18-04-2009 09:15 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Mr Stoke (Post 37958)
Bài năm nay khó thật. Bài cuối cùng là kết quả được tìm ra khoảng vào năm 1967, ý tưởng chứng minh thế này: Phản chứng giả sử cả hai phương trình có nghiệm. Lấy $(\alpha,\alpha') $ là nghiệm của phương trình (1) và giả sử rằng phương trình với dấu -1 có nghiệm, dùng phép đổi biến lên phương trình với dấu -1 là $x=\alpha u+\alpha' b v,y=\alpha' u+\alpha av $ thì suy ra phương trình $u^2-ab v^2=-1 $ có nghiệm.

Tuy nhiên có thể chứng minh rằng với a,b như giả thiết mà phương trình $u^2-ab v^2=-1 $ có nghiệm thì cả hai phương trình $ax^2-by^2=\pm1 $ vô nghiệm. Lí luận không dài lắm nhưng rối.

Trong phòng thi mà làm được trọn vẹn bài 3 thì quả là rất giỏi. :hornytoro:

Thầy Hưng có thể post lời giải chi tiết được không ạ .Em thấy bài này khá hay

Math10T 18-04-2009 09:47 PM

Một ai đó post bài hình lên đây được không?

psquang_pbc 18-04-2009 10:16 PM

Trích:

Nguyên văn bởi pte.alpha (Post 37953)
Hôm nay thi ngày thứ nhất.

Có ba bài.

Bài 1: Hình. Hầu hết đều làm được.

Bài 2: Đại số. Chỉ có 1 số làm được.

Bài 3. Số học. Số làm được còn ít hơn nữa.

Tạm thời tôi chỉ nhớ được 2 bài: 2 và 3

Bài 2. Cho đa thức $P(x) = rx^3 + qx^2 + px + 1 $ (r>0) chỉ có một nghiệm thực và nghiệm đó không phải là nghiệm bội. Dãy số $a_n $ xác định như sau
$a_0 = 1, a_1 = -p, a_2 = p^2 - q $
$ a_{n+3} = -pa_{n+2} - qa_{n+1} - ra_{n} $
Chứng minh rằng dãy số chứa vô số số hạng âm.

Bài 3. Cho a, b là các số nguyên dương không chính phương, a.b cũng không chính phương. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình
$ax^2 - by^2 = 1 $ và $ax^2 - by^2 = - 1
$
không có nghiệm nguyên dương.

Đề thế này ra khỏi phòng chắc cả ối người hụt hẫng. Rất chất lượng :D.

Siciak 19-04-2009 11:37 AM

Ai có nguyên vẹn đề ngày nào ko? Post lên mọi ng cùng xem, nói chung chung như pte.alpha, tò mò chết đi dc

duca1pbc 19-04-2009 02:20 PM

Đề ngày 2:

Bài 4:Tìm các giá trị của r để BDT sau đúng với mọi a,b,c dương:
$(r+\frac{a}{b+c})(r+\frac{b}{c+a})(r+\frac{c}{a+b} ) \ge (r+\frac{1}{2})^3 $

Bài 5: Cho đường tròn (O) đk AB.M là điểm tùy ý trong (O).Phân giác góc AMB cắt (O) tại N.phân giác ngoài góc AMB cắt NA,NB tại P,Q.AM cắt đường tròn đường kính NQ tại điểm thứ 2 R.BM cắt đường tròn đk NP tại điểm thứ 2 S.Chứng minh đường trung tuyến kẻ từ N của tam giác NSR đi qua điểm cố định

Bài 6:Có 6n+4 đại biểu tham dự 1 hội nghị.Trong đó có 2n+1 buổi thảo luận.Có 1 bàn tròn 4 người và n bàn tròn 6 người.Biết rằng 2 người bất kì ko ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau quá 1 lần.
a.Có thể sắp xếp các đại biểu đc ko với n=1
b.Câu hỏi tương tự với n>1
----------------------------------------------------
Mình làm kém quá.100% out rồi :D.

Math10T 19-04-2009 03:32 PM

bài hình ngày 1 thế nào hả mọi người.
Tình hình thì mọi người làm được nhiều không ạ?

Nemo 19-04-2009 06:11 PM

Bài 1 ngày 1 như thế này:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm $O $,gọi $A_1,B_1,C_1 $ lần lượt là chân đường vuông góc của $A,B,C $ xuống các cạnh dối diện.$A_2,B_2,C_2 $ lần lượt là điểm đối xứng của $A_1,B_1,C_1 $ qua trung điểm các cạnh $BC,CA,AB $.Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AB_2C_2,BC_2A_2,CA_2B_2 $ cắt $(O) $ tại các điểm thứ hai là $A_3,B_3,C_3 $.Chứng minh $A_1A_3,B_1B_3,C_1C_3 $ đồng quy




Bài này mình ra điểm đồng quy là trọng tâm tam giác ABC,dùng đối xứng suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AB_2C_2 $ đối xứng với trung điểm cua BC qua tâm O,suy ra $AA_3 $ song song BC.............

Bài 2 thì c/m $f(x)=x^3+px^2+qx+r $ có nghiệm âm $ x_0 $ ,đặt $b_n=a_{n+1}-x_0 a_n $ không âm với mọi n lớn hơn hằng số nào đó.Sau đó biến đổi để về dạng truy hồi $c_{n+2}=kc_{n+1}-c_n $ với k không âm và nhỏ hơn 2.Từ đây thì nhiều cách

Bài 3 thì làm mãi chẳng ra cái j` cả,thầy Hưng post cho chúng em lời giải đầy đủ với
Ngày 2 có lã bài hình khó nhất,nghĩ mãi chẳng đước cách hình học,đành dùng lượng giác

Math10T 19-04-2009 06:29 PM

Em thấy bài 6,hình như không rõ ràng lắm,anh Duy(Nemo) kiểm tra giúp em tí

nbkschool 19-04-2009 06:46 PM

Bài 6 sao không rõ ràng hả anh ?Câu trả lời hình như là tồn tại (dựa vào đẳng thức sau đây):$(2n+1)[C^{2}_{4}+nC^{2}_{6}-6n]=C^2_{6n+4} $)
Với n=1 thì cách xếp sau đây thỏa: (theo thứ tự lần lượt trên bàn tròn)
$1-2-3-4 ;5-8-6-9-7-10 $
$1-5-6-7 ;2-8-3-9-4-10 $
$1-8-9-10 ;2-5-3-6-4-7 $
Trường hợp tổng quát thì em chưa làm được.
Bài 4 khá đơn giản,thế $(1,1,0) $ vào suy ra khoảng của r.Để chứng minh mọi r trên khoảng đó đều thỏa thì đặt $x=\frac{a}{b+c} $,y z tương tự suy ra $xy+yz+zx+2xyz=1 $.Sau đó sử dụng BĐT:$x+y+z \geq 2(xy+yz+zx) $ (tương đương với Schur) quy về 1 biến $xy+yz+zx $,chú ý $xy+yz+zx \geq \frac{3}{4} $ sẽ ra được đpcm.

ThamVanTam 19-04-2009 07:05 PM

KHTN năm nay chắc có 1 suất :). Thấy ông Duy thi xog hớn hở ra quán net chơi chế. Bó tay ông này.
Anh Duy thông cảm em nói thật nhé :)


Múi giờ GMT. Hiện tại là 04:14 PM.

Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.

[page compression: 18.04 k/19.20 k (6.07%)]