Mở đầu [Chứa cả các file lời giải và file sách,...]
 

Để nâng tầm công lực của chúng tôi và các bạn theo yêu cầu của hai admin diễn đàn N.T.Tuân và 2M .Tôi sẽ chịu một phần trong việc đưa giải tích phức để các bạn nào quan tâm theo dõi.Có các kết quả sau
1)Chứng minh mọi đa thức bậc n luôn có n nghiệm,giải thuật nào để giải gần đúng tùy ý tất cả các nghiệm thực và phức
2) Thạng dư (tích phân phức)
3) Tính tổng chuổi vô hạn là nghiệm của các phương trình vô hạn nghiệm như kiểu tan(x)=x,sin(x)=x....Mà các bạn trẻ yêu cầu.Trong đó có tổng zeta rieman
Một ví dụ F(x)=$\sum_{i=-\infty}^{i=+\infty}\frac {1}{(i+x)^n} $,F(x) là hàm có chu kỳ 1,với n>1
Hay tổng dị dạng một vài chuổi số S=$\sum\frac {1}{x_{n}^{2}} $,trong đó $x_{n} $ là nghiệm của phương trình tan(x)=x

4 )Quan trọng hơn rất nhiều các bạn sẽ được theo dõi một cuốn sách hay nhất hiện nay do N.T.Tuân đề nghị,một trong những seri vấn đề mà nhóm chúng tôi sẽ thảo luận trong năm 2009

Đang ăn dở bát cơm tý sặc , nổ to quá! :)) Tôi edit tên topic và dán nó lên. Phần còn lại của box này cứ làm như box GTM 167 là được.

Bài 1: Hãy biểu diễn số phức theo tọa độ cực
(a) 1+i (b)$1+i\sqrt{2} $ (c) -3 (d) 4i
(e) $1-i\sqrt{2} $ (f)-5i (g) -7 (h) -1-i
Bài 2:Hãy biểu diễn số phức sau theo dạng x+yi
(a) $e ^{3i\pi} $ (b) $e ^{\frac {2i\pi}{3}} $ (c) $e ^{\frac {3i\pi}{4}} $ (d) $\pi e ^{\frac {-2i\pi}{3}} $
(e) $e ^{\frac {2i\pi}{6}} $ (f) $e ^{\frac {-i\pi}{2}} $ (h) $e ^{\frac {-5i\pi}{4}} $
Bài 3:Cho số phức $\alpha # 0 $ ,hãy chỉ ra có hai căn bậc hai phân biệt của nó(tính đa trị của hàm phức)

Bài 4: Cho a+bi là số phức.Tìm số thưc x,y sao cho
$(x+yi)^{2}=a+bi $.Tính a,b theo x và y

Bài 5: Hãy biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ phức sao cho $z^{n}=1 $.Cho n=2,3,4 và 5

Bài 6:Cho $\alpha $ là số phức khác 0.Cho n là số nguyên dương .Hãy chỉ ra n số phức z phân biệt,sao cho $z^{n}=1 $.Biểu diễn tất cả các số trên theo tọa độ cực

Bài 7:Tìm tất cả phần thực và phần ảo của $i^{\frac {1}{4}} $.Đưa ra tất cả căn bậc bốn của nó với góc không tù dương (arcgumen)

Bài 8: (a) Mô tả tất cả các số phức z sao cho $e^{z}=1 $
(b) Cho w là số phức .Cho $\alpha $ là số phức sao cho $e^{\alpha}=w $.Biểu diễn tất cả các số phức z sao cho $e^{z}=w $

Bài 9 Nếu $e^{z}=e^{w} $,chỉ ra có số nguyên k sao cho $z=w+2k\pi $

Bài 10: (a) Nếu $\theta $ là số thực.Chỉ ra rằng
$cos(\theta)=\frac {e^{\theta}+e^{-\theta}}{2} $ và $sin(\theta)=\frac {e^{\theta}-e^{-\theta}}{2i} $
Công thức Ơle

Bài 11 : Chứng minh rằng mọi số z #1 chúng ta có
$1+z+z^{2}+..+z^{n}=\frac {z^{n+1}-1}{z-1} $

Bài 12:Sử dụng bài trước,và lấy phần thực .Chứng minh
$1+cos(\theta)+cos(2\theta)+cos(3\theta)+..+cos(n\t heta)=\frac {1}{2} +\frac {sin(n+\frac {1}{2})\theta}{2sin(\frac {\theta}{2})} $

Bài 13:Cho z,w là hai số phức ,z1 là số phức liên hợp của z sao cho z1w #1.Chứng minh rằng
1)$| \frac {z-w}{1-z1w}|<1 $ nếu |z|<1 và |w|<1

2)$| \frac {z-w}{1-z1w}|= 1 $ nếu |z|=1 hoặc |w|=1

Chủ đề này có vẻ thú vị. Không biết cuốn Lang.S Complex Analysis có trên MS chưa, tiện thể tui thả cái link lên đây cho bạn nào chưa có thì down về xem.

[Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...]

Để tính tổng $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2} }+.. $
Ơ Le đã qua con đường sin(x)=x để tính tổng này(sáng tạo toán học của polia nhà sư phạm thiên tài Hung Ga ri sau này làm việc ở Mỹ).Ơ Le đã không được đồng tình của các đồng nghiệp (kể cả gia đình Becnuni là thầy và bạn của ông),mặc dù sau một thời gian sau đó cách đi này mọi người đã công nhận chứng minh của ông là đúng.Sau mười năm ông có cách đi mới.
Ta biết $x=x_{k}=cos(\frac{2k\pi}{n})+isin(\frac{2k\pi}{n}) $ k=1..n.Gọi là căn đơn vị bậc n,nghĩa là $x^{n}=1 $.Xét $u=\frac{1+x}{x-1}=\frac{1+cost+isint}{cost+isint-1}=\frac{2cos^{2}(\frac{t}{2})+2isin(\frac{t}{2})c os(\frac{t}{2})}{-2sin^{2}(\frac{t}{2})+2isin(\frac{t}{2})cos(\frac{ t}{2})}=-icot(\frac{t}{2}) $
$u^{2}=-cot^{2}(\frac{t}{2}) $
Từ công thức của u ta giải được $x=\frac{u+1}{u-1} $,từ $x^{n}=1 $->$(\frac{u+1}{u-1})^{n}=1 $->
$(u-1)^{n}=(u+1)^{n} $->$C^{1}_{n}u^{n-1}+C^{3}_{n}u^{n-3}+...=0 $.Theo định lý viet
Ta có $\sum {u_{i}}=0 $ và $\sum{u_{i}u_{j}=\frac{C^{3}{n}}{C^{1}{n}} $->$\sum{(u_{i})^{2}}=(\sum {u_{i}})^{2}-2\sum{u_{i}u_{j}=-\frac{C^{3}{n}}{C^{1}{n}}=-\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n})} $
Vậy là $\frac{(n-1)(n-2)}{6}=\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n}) $
Áp dụng bdt $\frac{1}{x^{2}}\leq cot^{2}(x) \leq \frac{1}{sin^{2}(x)}=cot^{2}(x)+1 $
Ta có $\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n})\leq \sum\frac{n^{2}}{\pi^{2}k^{2}}\leq (\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n}))+n $
->$\frac{\pi^{2}(n-1)(n-2)}{6n^{2}}\leq\sum\frac{1}{k^{2}}\leq \frac{\pi^{2}(n+1)(n+2)}{6n^{2}} $
Khi cho n-> vô cùng ta có $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2} }+..=\frac{\pi^{2}}{6} $

Xin cho hỏi một chút! Sao các bác ko thảo luận quyển sách của Ahlfors? Quyển đó có lẽ là giáo khoa về gtp đó chứ?

:)

Quyển nào cũng thảo luận được (miễn là có bài tập :)) ) , nhưng mà vấn đề là có nhiều người tham gia không thôi :D

Ai check link hộ với hình như died

Topic có lâu mà chưa ai thảo luận .Em xin tiên phong 1 vài bài?
Trường hợp 1:$\alpha $ là số thực
Thật vậy với $\alpha > 0 $ khi đó ta viết được $\alpha =k^2 $ nên $\alpha $ có 2 căn bậc 2 là $\pm k $
Với $\alpha <0 $ ta viết được $\alpha =k^2i^2 $
$\alpha $ có 2 căn bậc 2 là $\pm ki $
Trường hợp 2:$\alpha $ là số phức
Giả sử $\alpha $ có dạng $\alpha =a+bi $ khi đó luôn xác định được 2 căn bậc hai của $\alpha $ dựa vào hệ pt:
$(x+yi)^2=a+bi $, Khai triển hằng đẳng thức , cho phần thực bằng phần thực , ảo bằng aõe tìm được x,y.
Là trường hợp 2 của bài 3.

Thực ra đây là tìm căn nguyên thủy cúa 1.
Ta biểu diễn $1=\cos0+i\sin0 $
Khi đó $z=cos\frac{k2\pi}{n} +i\sin\frac{k2\pi}{n} $
Trược hết ta biểu diễn i dưới dạng lượng giác $i=\cos\frac{\pi }{2}+i\sin\frac{\pi }{2} $.
Khi đó $ i^{\frac{1}{4}}=\cos\frac{k2\pi}{8}+i\sin\frac{k2 \pi}{8} $. k=0,1,2,3
Ta đã biết hằng đẳng thức $z^{n+1}-1=(z-1)(1+z+z^{2}+..+z^{n}) $
nên với z #1 thì ta có $1+z+z^{2}+..+z^{n}=\frac {z^{n+1}-1}{z-1} $ (đfcm)