Tính giới hạn liên quan tới tích phân
 

Tính giới hạn
\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\int_0^1 {{{\left( {2{x^2} - 4x - 1} \right)}^n}dx} }}{{\int_0^1 {{{\left( {{x^2} - 5x - 1} \right)}^n}dx} }}\]

Ta có
\[
\frac{{\int_0^1 {{{\left( {2{x^2} - 4x - 1} \right)}^n}dx} }}{{\int_0^1 {{{\left( {{x^2} - 5x - 1} \right)}^n}dx} }} =\frac{{\int_0^1 {{{\left( {1+ 4x -2{x^2} } \right)}^n}dx} }}{{\int_0^1 {{{\left( {1+ 5x -{x^2}} \right)}^n}dx} }},
\]
\[
\int_0^1 (1+4x -2x^2)^n dx = \int_0^1 (3-2(1-t)^2)^n dx \leq 3^n,
\]
và
\[
\int_0^1 (1+5x -x^2)^n dx \geq \int_{1/2}^1 (1+5x -x^2)^n dx \geq \frac12 \left(\frac{13}4\right)^n.
\]
Do đó
\[
0 \leq \frac{{\int_0^1 {{{\left( {2{x^2} - 4x - 1} \right)}^n}dx} }}{{\int_0^1 {{{\left( {{x^2} - 5x - 1} \right)}^n}dx} }} \leq 2 \left(\frac{12}{13}\right)^n,
\]
từ đây suy ra giới hạn bằng $0$.