Bất đẳng thức
 

Cho $x,y,z > 0,{(x + y + z)^3} = 32xyz$. Tìm min , max \[P = \frac{{{x^4} + {y^4} + {z^4}}}{{{{(x + y + z)}^4}}}\]

Đặt $x=az;\,y=bz;\,a+b=s;\,ab=p$ với $p;\,s>0$ và $p\le\dfrac{s^2}{4}$ là xong.

Do đây là bất đẳng thức thuần nhất nên
Wlog : x+y+z=4
\[\begin{array}{l}
xyz = 2\\
{(x + y + z)^4} = {4^4} = \sum\limits_{cyc} {{x^4} + {x^2}{y^2} + {x^2}{z^2} + 2{x^3}y + 2{x^2}yz + 2{x^3}z} \\
Đặtxy + yz + zx = a\\
\to {a^2} = {x^2}{y^2} + {x^2}{z^2} + {y^2}{z^2} + 16;a = {4^2} - {x^2} + {y^2} + {z^2}
\end{array}\]
Đạo hàm tìm giá trị
Khoảng chặn của a dễ thấy

đây là bất đẳng thức thuần nhất ( đồng bậc 4 ) nên bạn có thể chuẩn hóa x+y+z=4 ( để khi rút xyz từ điều kiện sẽ được số đẹp) rồi đó đặt ẩn phụ rồi đạo hàm.