Nguyên văn bởi CMPITG (Post 8432)

Bài này em ra rồi, nhưng mà khủng quá, xin trình bày vắn tắt vậy:
$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1 + \tan x} dx
$
Đặt
$
\frac{\pi}{4} - x = t \Rightarrow
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\frac{\pi}{4} - t}{\frac{2}{1 + \tan t}} dt
$
$
= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\pi}{4} - t \right) \left( 1 + \tan t \right) dt
$
$
= \frac{\pi}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} dt + \frac{\pi}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t dt - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \tan t dt
$
Ba cái đầu tiên thì quá đơn giản rồi, xét cái thứ tư: Đặt
$
I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} t \tan t dt
$
Đặt tiếp:
$
\frac{\pi}{4} - t = u \Rightarrow $
$I_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{\pi}{4} - u \right) \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} du
$Dòng này đã bị ... sai !
$
= \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} + 1 \right) du - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u \left( \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u} + 1 \right) du - \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u du
$
$
= \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{1 + \tan u} du - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2u}{1 + \tan u} du - \frac{\pi}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} du + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} u du
$
Hai tích phân cuối thì đơn giản rồi, cái thứ ba chính là $2I $, tính nốt tích phân đầu tiên của $I_1 $ là xong:
$
I_2 = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{du}{1 + \tan u} du
$
Đặt:
$
v = \tan u \Rightarrow dv = (1 + \tan ^2 u) du = (1 + v^2) du
$
$
\Rightarrow I_2 = \int_{0}^{1} \frac{dv}{(1 + v)(1 + v^2)}
$
--> Quá quen thuộc.
Bài toán coi như tính xong :D.

Nguyên văn bởi lav2384 (Post 36930)

tích phân I2 giải rất đơn giản bằng phương pháp tích phân từng phần với u=t, dv=tantdt :D
==============
xin lỗi, mình đang nói đến I1

Nguyên văn bởi 2M (Post 36956)

Mất tg quá [Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...] :))