Tính chia hết của dãy sai phân tuyến tính cấp 2
 

Cho $p$ là số nguyên lớn hơn 3 và $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình: $x^2-px+1=0$.
Đặt $a_n=x_1^n+x_2^n$.
Chứng minh rằng $a_n$ không chia hết cho $p-1$ với mọi $n$.

Ta có $a_0=2,a_1=p,a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$
xét dãy $(b_n)$:$b_0=2,b_1=1,b_{n+2}=b_{n+1}-b_n$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $a_n=b_n(mod p-1)$
Tính một vài giá trị của dãy $b_n$:$b_0=2,b_1=1,b_2=-1,b_3=-2,b_4=-1,b_5=1,b_6=2,b_7=1$
Ta thấy rằng dãy chỉ nhận các giá trị -2,-1,1,2,và $p-1>2$ nên $a_n$ không chua hết cho $p-1$ với mọi $n$