Đánh giá với diện tích tứ giác lồi
 

Cho tứ giác lồi $ABCD$ có diện tích $S$, chứng minh rằng\[A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} - AB.CD - BC.AD + AC.BD \ge 8S.\]

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có :
$$S=\frac{1}{2}AC.BD.sin(AOB)\leq \frac{1}{2}AC.BD\Rightarrow 8S\leq 4AC.BD$$
Ta có:
$$\frac{1}{2}\left ( AB^2+CD^2 \right )-AB.CD\geq 0$$
$$\frac{1}{2}\left ( BC^2+AD^2 \right )-BC.AD\geq 0$$
$$\frac{1}{2}\left ( AB^2+CD^2 \right )\geq AB.CD$$
$$\frac{1}{2}\left ( BC^2+AD^2 \right )\geq BC.AD$$
$$AC^2+BD^2\geq 2AC.BD$$
Cộng lại vế theo vế và áp dụng bất đẳng thức Ptoleme,ta có:
$$VT\geq AB.CD+BC.AD+2AC.BD+AC.BD\geq 4AC.BD\geq 8S$$