Chứng minh $\widehat{BFM} = \widehat{BCM}$.
 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $D, E, F$ là các điểm trên các cạnh $AB, BC, CA$ sao cho $DE$ vuong góc với $BC$ và $DE =DF$, gọi $M$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh $\widehat{BFM} = \widehat{BCM}$.

Kẻ $CM$ cắt $FB$ tại N. Để CM $\widehat{BFM}=\widehat{BCM}$ ta CM $FNEC$ là tứ giác nội tiếp hay $\widehat{CNF}=\widehat{CEF}$.
Có $\widehat{CEF}=\widehat{MDE}=\widehat{FDM}$ (cùng phụ $\widehat{MED}$), nên ta cần CM $FMND$ nội tiếp hay $\widehat{FND}=90^{\circ}$. Để có điều trên ta cần CM $ DB^2-FD^2=NB^2-FN^2$ hay $ NB^2-FN^2=EB^2$ hay $\dfrac{NB-FN}{EB}=\dfrac{EB}{FB}$.
Áp dụng định lý Ceva với tam giác $FEB$ ta có $\dfrac{NF}{NB}=\dfrac{CE}{CB}$ hay $\dfrac{NF}{CE}=\dfrac{NB}{CB}=\dfrac{NB-FN}{EB}=\dfrac{FB}{CE+CB}$.
Đến đây ta chỉ cần CM $\dfrac{FB}{CE+CB}=\dfrac{EB}{FB}$. Nhân chéo 2 vế lên, để ý rằng $EB.CB=BD.AB$ và $CE=CB-EB$, sau 1 lúc biến đổi ta ra dc điều đúng.
[IMG][Only registered and activated users can see links. Click Here To Register...][/IMG]