Chứng minh không tồn tại giới hạn của dãy số
 

Chứng minh dãy $U_n = sin(n) $ không có giới hạn.

Giả sử dãy trên có giới hạn. Khi đó:
$0=\lim{(U_{n+2}-U_n)}=\lim{(\sin(n+2)-\sin n)}=\lim[\sin(n+1) \cos 1 +\sin 1 \cos (n+1)-\sin(n+1)\cos 1 -\sin1\cos(n+1)]=2\sin1.\lim({\cos (n+1)}) \Rightarrow \lim(\cos n)=0 $
Tương tự:
$0=\lim{(\cos(n+2)-\cos n)} \Rightarrow \lim(\sin n)=0 $
Dẫn đến:
$1=\lim(\sin^2 n + \cos^2n)=0 $(vô lý)

Xét hai dãy
$x_n=2k\pi $ và $y_n=\frac {\pi} 2+2k\pi $
Khi đó hai dãy trên đều tiến tới dương vô cùng.
Nhưng $lim x_n=0 $, $limy_n=1 $,do đó dãy $u_n $ không hội tụ.

Bạn đọc kĩ lại đề nhé, đề bài cho là giới hạn của dãy số $\lim \sin n $ chứ không phải là giới hạn của hàm số $\lim_{x\to +\infty} \sin x $

$ \lim \sin n = 0 $ thì làm sao suy ra đc $\lim \sin n^2=0 $ vậy ?

$\lim \sin^2 n $ chứ không phải là $\lim\sin n^2 $

Về mặt lý thuyết thì nếu $\lim \sin n = 0 $ thì $\lim \sin(n^2) = 0 $ vì $(n^2) $ là dãy con của $(n) $mà.

Thầy Nam Dũng có thể đưa ra phương pháp chung cho những bài chứng minh không tồn tại giới hạn được không ạ