Bất đẳng thức ollimpic 27-4
 

Cho $ a, b, c $ thỏa mãn $ abc = 1$
Chứng minh \[\frac{1}{{\sqrt {a + 2b + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {b + 2c + 6} }} + \frac{1}{{\sqrt {c + 2a + 6} }} \le 1\]

LỜI GIẢI :

Ta có đẳng thức quen thuộc sau :
$$\dfrac{1}{a^kb^k+b^k+1}+\dfrac{1}{b^kc^k+c^k+1}+ \dfrac{1}{c^ka^k+a^k+1}=1$$
với $abc=1$ và số thực $k$ tuỳ ý.
Theo Cauchy-Schwarz :
$$VT\leq \sqrt{3\left ( \dfrac{1}{a+2b+6}+\dfrac{1}{b+2c+6}+\dfrac{1}{c+2a +6} \right )}$$
Áp dụng AM-GM :
$$a+2b+6=(a+b+1)+(b+1+1)+3\geq 3\left ( \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b} +1\right )$$
Do đó :
$$\dfrac{1}{a+2b+6}\leq \dfrac{1}{3\left ( \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b}+1 \right )}$$
Từ đó dễ thấy đpcm.

Cách này dài dòng.cần tách thành $ a + 2 + b+ 2 +b + 2$