Bất đẳng thức giữa chiều cao và cạnh tam giác
 

Cho Tam giác ABC, có các cạnh là a,b,c và các chiều cao là $h_a,h_b,h_c $. Chứng minh rằng.
$\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c}<1 $

Chắc đề này cho tam giác nhọn phải không bạn? (trường hợp tam giác vuông chứng minh đơn giản).
Nếu là tam giác nhọn thì ta có:
Theo BDT về đường xiên và đường vuông góc thì:
$h_a < \min \{b, c\}, h_b < \min \{c,a\}, h_c < \min \{a, b\} $. Suy ra:
$h_b < c, h_c < a, h_a < b $. Cộng lại là ta có:
$h_a+h_b+h_c < a+b+c $.
Chiều còn lại của BDT đã cho thì cũng dựa theo BDT tam giác:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:
$2(h_a+h_b+h_c)>2(HA+HB+HC) =\\= (HA+HB)+(HB+HC)+(HC+HA) >AB+BC+CA =a+b+c $.
Ta có đpcm.

Nếu tam giác tù thì bất đẳng thức $\frac{1}{2}<\frac{h_a+h_b+h_c}{a+b+c} $ sai!

Đúng rồi, đề này cho tam giác nhọn.
Nhân tiện minh bổ sung Thêm 1 bài BDT hình học nữa.

Cho tam giác ABC nhọn, có độ dài các cạnh là a,b,c. P là nửa chu vi. CMR:
$\sum_{cyc} (a+b)\sqrt{ab(p-a)(p-b)}\le 3abc $

Đặt $p-a=x,p-b=y,p-c=z $. Bất đẳng thức tương đương với:
$\sum {(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} } \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $
Theo BDT AM-GM, có:
$(2x + y + z)\sqrt {yz(x + y)(x + z)} \le \frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $
Nên
$ VT \le \sum {\frac{{(2x + y + z)(2yz + xy + xz)}}{2} $
$ \le \frac{{8xyz + 5(x + y)(y + z)(z + x)}}{2} \le 3(x + y)(y + z)(z + x) $