Bài toán về đường tròn nội tiếp
 

Cho tam giác $ABC$ có $R$ và $r$ lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác. Giả sử $D,\,E,\,F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh $BC,\,CA,\,AB$ và $X,\,Y,\,Z$ tương ứng là giao điểm thứ hai của đường tròn nội tiếp tam giác với các đường thăng $AD\,BE,\,CF$. Chứng minh rằng\[\frac{{AX}}{{DX}} + \frac{{BY}}{{EY}} + \frac{{CZ}}{{FZ}} = \frac{R}{r} - \frac{1}{2}.\]