Đề thi tháng lớp 10 Toán lần 5
 

Đây là đề thi tháng trường mình lần cuối cùng trong năm học 2011-2012
Bài 1: Giải phương trình $\sqrt{4x^{2}+14x+9}-\sqrt{x^{2}-x-20}=5\sqrt{x+1} $.
Bài 2: cho $x, y $ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^{3}+x}{xy-1} $ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $z $ sao cho $x+y+z=xyz $.
Bài 3: cho $a, b, c $ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1 $. Chứng minh rằng:
Bài 4: cho tam giác $ABC $ ngoại tiếp đường tròn tâm $I $ với các tiếp điểm $D, E, F $ lần lượt thuộc $BC, CA, AB $. Gọi $P $ là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $ABC $. Gọi $M, N, Q $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P $ lên $BC, CA, AB $. Chứng minh đường tròn đi qua trọng tâm $3 $ tam giác $MEF, NDF, QDE $ có đường kính bằng $\frac{1}{3}IP $.
Bài 5: Có bao nhiêu cách điền các số nguyên dương và các số $0 $ vào bảng vuông $nxn $ sao cho tổng các số trong mỗi hàng đều là $n-1 $ và nếu đã điền một số nguyên dương vào ô $(i, j) $ thì các ô $(h,k) $ với $h> i $, $k< j $ đều phải điền số $0 $

$VT=\dfrac{2a}{a+bc}+\dfrac{2b}{b+ac}+\dfrac{2c}{c+ ab}-3 $
Vậy cần chứng minh bất đẳng thức:
$\dfrac{a}{a+bc}+\dfrac{b}{b+ac}+\dfrac{c}{c+ab} \leq \dfrac{9}{4} $
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{(a+b)(a+c)}+\dfrac{b}{(b+c)(b+a)}+\dfrac {c}{(c+b)(c+a)}\leq \dfrac{9}{4} $ (do $a(a+b+c)=(a+b)(a+c) $)
$\Leftrightarrow 4a(b+c)+4b(a+c)+4c(a+b)\leq 9(a+b)(b+c)(a+c) $
$\Leftrightarrow 8(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9(a+b)(b+c)(a+c) $ (bất đẳng thức đúng)

Bài 3:
Bđt cần cm tương đương với $\frac{bc}{(a+b)(a+c)} + \frac{ca}{(b+c)(b+a)} + \frac{ab}{(c+a)(c+b)} \geqslant \frac{3}{4} $.
Quy đồng mẫu rồi đưa về pqr ta phải cm $\frac{pq-3r}{pq-r} \geqslant \frac{3}{4} $.
Tương đương $q \geqslant 9r $ đúng do $pq \geqslant 9r $ mà $p=1 $ nên ta có đpcm.

Cách giải của bạn TrauBo tuy ngắn gọn nhưng mà mình chưa biết pqr là gì.Bạn JokerNVT có thể cm cho mình bđt $8(a+b+c)(ab+bc+ca) \leqslant 9(a+b)(b+c)(c+a) $ được không?

Ta có $(a+b)(b+c)(c+a)=pq-r $ và $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=pq-3r $,bạn chỉ việc khai triển ra thôi.
Ta có $(a+b+c)^2 \geqslant 3(ab+bc+ca) $ và $(ab+bc+ca)^2 \geqslant 3abc(a+b+c) $.Từ đó ta sẽ có $p^2q^2 \geqslant 9pqr $.Hay là $pq \geqslant 9r $.

Ta có $(a+b+c)(ab+bc+ca)=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2+ac^2+3a bc $ và $(a+b)(b+c)(c+a)=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2+ac^2+2abc $. Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ca^2+ac^2 \ge 6abc $. Đến đây áp dụng AM - GM là ok.

Bài 2: cho $x, y $ là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{x^{3}+x}{xy-1} $ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $z $ sao cho $x+y+z=xyz $
Ta có: $\frac{x^{3}+x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{x^{3}+x}{xy-1}+x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{3}+x+x^{2 }y-x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{2}(x+y)}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy-1}\in\mathbb{Z} $,
$\Rightarrow\exists z\in\mathbb{Z} :z=\frac{x+y}{xy-1}\Leftrightarrow x+y+z=xyz $

có lẽ đề là như $5x^{2} $, sáng nay mình mới hỏi thầy bảo khả năng ra sai đề.

Bài bdt có cách lượng giác hoá nhưng trâu bò. Anh em thử coi 8-X8-X

Cho mình hỏi tại sao bạn biết cộng x vào mà không phải là ax+b hay ax+by+c,...?
Và cái đoạn $\frac{x^2(x+y)}{xy-1} \in Z \Leftrightarrow \frac{x+y}{xy-1} \in Z $ không ổn lắm.
VD: $9.\frac{1}{3} \in Z \Rightarrow \frac{1}{3} \in Z $???

Bài 2 mình làm thế này:
$$A = \frac{{{x^3} + x}}{{xy - 1}} = \frac{{{x^2}(x + 1)}}{{xy - 1}}$ $
$$A \in Z$ $ mà $$(x;xy - 1) = 1$ $ nên
$$\begin{array}{l}
({x^2} + 1) \vdots (xy - 1)\\
\Rightarrow {x^2}y + y \vdots xy - 1\\
\Rightarrow x(xy - 1) + x + y \vdots xy - 1\\
\Rightarrow x + y \vdots xy - 1
\end{array}$ $
Suy ra tồn tại số nguyên z để
$$\frac{{x + y}}{{xy - 1}} = z \Leftrightarrow x + y + z = xyz$ $
Kết thúc bài toán.
------------------------------
Bạn này giải đúng rồi bạn à vì x và xy-1 nguyên tố cùng nhau

Đặt $\sqrt{x^2-4x-5}=a $ và $\sqrt{x+4}=b $
Phương trình trở thành:

Do mọi ước của x đều là ước của xy nên từ $(xy-1;xy)=1 \Rightarrow (x;xy-1)=1 \Rightarrow (x^2;xy-1)=1 $. Bạn lilsalyn quên giải thích chỗ này thôi.
Bạn có thể làm như bạn vjpd3pz41iuai sẽ nhanh hơn. Thật ra câu hỏi tại sao biết cộng x vào rất hay, đáng để suy nghĩ. Hướng đi của mình như sau: (đây là ý kiến chủ quan của mình thôi)

Trước hết có 1 số nhận xét:

* Ta cần biến đổi A về $A'=\frac{x+y}{xy-1} $. Khi đó $A' \in Z \Leftrightarrow x+y+z=xyz $ như bạn lylsalin đã làm.
* Trong biểu thức $A=\frac{x^3+x}{xy-1} $ thì x xuất hiện nhiều hơn. Do đó ta thử cộng A với biểu thức dạng $ax+b $.
Ta có $A+ax+b=...=\frac{x^3+x^2.ay+x(1+by-a)-b}{xy-1} $
Muốn đưa về A' thì tử số của A phải có nhân tử x+y, tức là -y là 1 nghiệm của $f(x)=x^3+x^2.ay+x(1+by-a)-b $
Dùng Horner ta được $-y[-y(-y+ay)+1+by-a]=b \Leftrightarrow y^3(1-a)+by^2+y(1-a)+b=0;\forall y \in \mathbb{N*} $ (*)
Bài toán đưa về tìm tham số để đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định. Dễ thấy $a=1; b=0 $ thì (*) đúng.
Vậy ta cộng A với x.
:samoaner::samoaner::[b-)

Như vậy ta chứng minh được nếu cộng A với 1 hàm bậc nhất dạng $ax+b $ thì hàm đó chỉ có thể là $g(x)=x $. Còn hàm bậc 2 $ax^2+bx+c $ hay hàm $g(x;y)=ax+by+c $ như bạn VinhPhucNK nói mình chưa nghiên cứu tới. Nhưng có lẽ 2 cách là ổn rồi:gach:
Áp dụng cách phân tích trên ta cũng có thể "chế" ra đề mới, khi đó không chỉ là cộng x mà có thể là các biểu thức phức tạp hơn