Đa giác
 

Chứng minh rằng trong một đa giác lồi luôn tồn tại 2 cạnh a,b sao cho tỉ lệ độ dài giữa cạnh bé và cạnh lớn lớn hơn $\frac{1}{2} $

giả sử đa giác có $n $ cạnh, và giả sử độ dài các cạnh theo thứ tự là

$a_1\le a_2\le\cdots\le a_n $. Theo tính chất đường gấp khúc ta có

$a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}>a_n $.

Giả sử rằng ta có $a_{i}\le 2a_{i+1} $ với mọi $i=1,2,...,n-1 $ thì ta sẽ có $a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\le (\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}})a_n<a_n $ vô lí